Номер 21, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.21. Найдите значение выражения:

a) $\log_3 49 \cdot \log_{\sqrt{7}} 5 \cdot \log_{25} 27;$

б) $(30 - 5^{1 + \log_5 4}) \cdot \log_2 \sqrt{5} \cdot \log_5 4.$

а) Для нахождения значения выражения $\log_3 49 \cdot \log_{\sqrt{7}} 5 \cdot \log_{25} 27$ воспользуемся свойствами логарифмов.

Будем использовать следующие свойства:

• Логарифм степени: $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$
• Логарифм от основания в степени: $\log_{a^q} b = \frac{1}{q} \cdot \log_a b$
• Формула перехода к новому основанию и ее следствие (цепное правило): $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

Шаг 1: Упростим каждый логарифм в произведении.
$\log_3 49 = \log_3 (7^2) = 2 \log_3 7$
$\log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{7^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2} \log_7 5 = 2 \log_7 5$
$\log_{25} 27 = \log_{5^2} (3^3) = \frac{3}{2} \log_5 3$

Шаг 2: Подставим упрощенные выражения обратно в произведение.
$(2 \log_3 7) \cdot (2 \log_7 5) \cdot (\frac{3}{2} \log_5 3)$

Шаг 3: Сгруппируем числовые коэффициенты и логарифмические части.
$(2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2}) \cdot (\log_3 7 \cdot \log_7 5 \cdot \log_5 3)$
Вычислим произведение коэффициентов: $2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 6$.

Шаг 4: Вычислим произведение логарифмов, используя цепное правило.
$\log_3 7 \cdot \log_7 5 \cdot \log_5 3 = (\log_3 7 \cdot \log_7 5) \cdot \log_5 3 = \log_3 5 \cdot \log_5 3 = \log_3 3 = 1$.
Альтернативно, через переход к одному основанию (например, $e$):
$\frac{\ln 7}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 5} = 1$

Шаг 5: Найдем конечное значение, перемножив результаты шагов 3 и 4.
$6 \cdot 1 = 6$

Ответ: 6.

б) Для нахождения значения выражения $(30 - 5^{1+\log_5 4}) \cdot \log_2 \sqrt{5} \cdot \log_5 4$ решим его по частям.

Часть 1: Упрощение выражения в скобках $(30 - 5^{1+\log_5 4})$
Шаг 1.1: Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$5^{1+\log_5 4} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 4}$

Шаг 1.2: Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$5^{\log_5 4} = 4$

Шаг 1.3: Вычислим значение степени.
$5^1 \cdot 4 = 20$

Шаг 1.4: Вычислим значение всего выражения в скобках.
$30 - 20 = 10$

Часть 2: Упрощение произведения логарифмов $\log_2 \sqrt{5} \cdot \log_5 4$
Шаг 2.1: Преобразуем аргументы логарифмов и применим свойство логарифма степени $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$.
$\log_2 \sqrt{5} = \log_2 (5^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_2 5$
$\log_5 4 = \log_5 (2^2) = 2 \log_5 2$

Шаг 2.2: Перемножим полученные выражения.
$(\frac{1}{2} \log_2 5) \cdot (2 \log_5 2) = (\frac{1}{2} \cdot 2) \cdot (\log_2 5 \cdot \log_5 2)$

Шаг 2.3: Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$.
$1 \cdot (\log_2 5 \cdot \log_5 2) = 1 \cdot 1 = 1$

Часть 3: Итоговое вычисление
Перемножим результаты, полученные в Части 1 и Части 2.
$10 \cdot 1 = 10$

Ответ: 10.