Номер 17, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.17. Найдите значение выражения $(11^{0,5\log_{\sqrt[3]{11}}4} - 3^{4\log_{81}16}) : 8^{\log_2 4}$.

Для нахождения значения данного выражения необходимо последовательно упростить каждый его компонент, используя свойства логарифмов и степеней.

Исходное выражение: $(11^{0.5\log_{\sqrt[3]{11}}4} - 3^{4\log_{81}16}) : 8^{\log_2 4}$.

Разберем его по частям.

1. Упрощение первого члена $11^{0.5\log_{\sqrt[3]{11}}4}$

Сначала преобразуем логарифм в показателе степени. Основание логарифма $\sqrt[3]{11}$ можно представить в виде степени: $\sqrt[3]{11} = 11^{1/3}$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt[3]{11}}4 = \log_{11^{1/3}}4 = \frac{1}{1/3}\log_{11}4 = 3\log_{11}4$.

Теперь подставим это обратно в показатель степени первого члена:

$0.5 \cdot (3\log_{11}4) = 1.5\log_{11}4 = \frac{3}{2}\log_{11}4$.

Применим свойство степени логарифма $c\log_a b = \log_a b^c$:

$\frac{3}{2}\log_{11}4 = \log_{11}(4^{3/2})$.

Теперь весь первый член выглядит так: $11^{\log_{11}(4^{3/2})}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$11^{\log_{11}(4^{3/2})} = 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.

2. Упрощение второго члена $3^{4\log_{81}16}$

Представим основание логарифма $81$ в виде степени числа $3$: $81 = 3^4$.

Используем то же свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_{81}16 = \log_{3^4}16 = \frac{1}{4}\log_3 16$.

Подставим это в показатель степени второго члена:

$4 \cdot (\frac{1}{4}\log_3 16) = 1 \cdot \log_3 16 = \log_3 16$.

Выражение принимает вид $3^{\log_3 16}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3 16} = 16$.

3. Упрощение делителя $8^{\log_2 4}$

Сначала вычислим значение логарифма в показателе степени:

$\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$.

Теперь подставим полученное значение в выражение:

$8^2 = 64$.

4. Итоговое вычисление

Теперь у нас есть все значения для финального расчета. Подставим их в исходное выражение:

$(8 - 16) : 64 = -8 : 64$.

Выполним деление, представив его в виде дроби и сократив ее:

$-\frac{8}{64} = -\frac{1}{8}$.

Найдите значение выражения $(11^{0.5\log_{\sqrt[3]{11}}4} - 3^{4\log_{81}16}) : 8^{\log_2 4}$. Ответ: $-\frac{1}{8}$