Номер 52, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.52. Решите уравнение $f'(x) = a$, если:

a) $f(x) = 7e^{x+4}$, $a = \frac{7}{e}$;

б) $f(x) = 5e^{7-3x}$, $a = -15$.

а) Для решения уравнения $f'(x) = a$, сначала найдем производную функции $f(x) = 7e^{x+4}$.
Используя правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$, получаем:
$f'(x) = (7e^{x+4})' = 7 \cdot e^{x+4} \cdot (x+4)' = 7e^{x+4} \cdot 1 = 7e^{x+4}$.
Теперь составим и решим уравнение $f'(x) = a$, где $a = \frac{7}{e}$:
$7e^{x+4} = \frac{7}{e}$
Разделим обе части уравнения на 7:
$e^{x+4} = \frac{1}{e}$
Представим $\frac{1}{e}$ как $e^{-1}$:
$e^{x+4} = e^{-1}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x + 4 = -1$
$x = -1 - 4$
$x = -5$
Ответ: -5.

б) Для решения уравнения $f'(x) = a$, сначала найдем производную функции $f(x) = 5e^{7-3x}$.
Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = (5e^{7-3x})' = 5 \cdot e^{7-3x} \cdot (7-3x)' = 5e^{7-3x} \cdot (-3) = -15e^{7-3x}$.
Теперь составим и решим уравнение $f'(x) = a$, где $a = -15$:
$-15e^{7-3x} = -15$
Разделим обе части уравнения на -15:
$e^{7-3x} = 1$
Так как любое число в степени 0 равно 1, мы можем записать 1 как $e^0$:
$e^{7-3x} = e^0$
Приравниваем показатели степеней:
$7 - 3x = 0$
$3x = 7$
$x = \frac{7}{3}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$x = 2\frac{1}{3}$
Ответ: $2\frac{1}{3}$.