Номер 48, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.48. Найдите все значения числа $a$, при которых уравнение $(\frac{1}{3})^x + 4a^2 = \frac{1}{4}$ имеет корни.

Данное уравнение является показательным относительно переменной $x$ с параметром $a$.

Исходное уравнение:$$ \left(\frac{1}{3}\right)^x + 4a^2 = \frac{1}{4} $$

Для того чтобы уравнение имело корни, необходимо определить, при каких значениях параметра $a$ существует хотя бы одно решение для $x$. Для этого выразим член с переменной $x$:$$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{4} - 4a^2 $$

Левая часть уравнения представляет собой показательную функцию $y(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Область значений любой показательной функции с основанием, не равным 1, есть интервал $(0, +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение выражения $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ всегда строго положительно.$$ \left(\frac{1}{3}\right)^x > 0 $$

Чтобы уравнение имело решение, правая часть уравнения должна принадлежать области значений левой части. Следовательно, правая часть должна быть строго больше нуля:$$ \frac{1}{4} - 4a^2 > 0 $$

Теперь решим это неравенство относительно параметра $a$:$$ 4a^2 < \frac{1}{4} $$Разделим обе части неравенства на 4:$$ a^2 < \frac{1}{16} $$

Это неравенство эквивалентно $|a| < \sqrt{\frac{1}{16}}$, что означает:$$ |a| < \frac{1}{4} $$Раскрывая модуль, получаем двойное неравенство:$$ -\frac{1}{4} < a < \frac{1}{4} $$

Таким образом, уравнение имеет корни только в том случае, если значение параметра $a$ принадлежит интервалу $\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$.

Ответ: $a \in \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$.