Номер 1, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.1. Решите неравенство:

а) $(\frac{1}{25})^{2x} < 125^{x+1};$

б) $0.25^{1-4x} \le 64;$

в) $3^{3x+15} - 1 > 0;$

г) $(\frac{1}{9})^{-x} > (\frac{1}{3})^{x-24};$

д) $125^{x+2} - \sqrt[3]{5} > 0;$

е) $49 \cdot 7^x > 7^{3x+1}.$

a) $(\frac{1}{25})^{2x} < 125^{x+1}$

Приведем обе части неравенства к общему основанию 5. Так как $ \frac{1}{25} = 5^{-2} $ и $ 125 = 5^3 $, неравенство можно переписать в виде:

$(5^{-2})^{2x} < (5^3)^{x+1}$

Упростим показатели степеней, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{-4x} < 5^{3(x+1)}$

$5^{-4x} < 5^{3x+3}$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y=5^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-4x < 3x + 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$-3 < 3x + 4x$

$-3 < 7x$

$x > -\frac{3}{7}$

Ответ: $x \in (-\frac{3}{7}; +\infty)$.

б) $0,25^{1-4x} \le 64$

Приведем обе части неравенства к общему основанию 4. Так как $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $64 = 4^3$, неравенство принимает вид:

$(4^{-1})^{1-4x} \le 4^3$

Упростим показатель степени в левой части:

$4^{-1(1-4x)} \le 4^3$

$4^{4x-1} \le 4^3$

Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$4x - 1 \le 3$

Решим линейное неравенство:

$4x \le 3 + 1$

$4x \le 4$

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

в) $3^{3x+15} - 1 > 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$3^{3x+15} > 1$

Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.

$3^{3x+15} > 3^0$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$3x + 15 > 0$

Решим неравенство:

$3x > -15$

$x > -5$

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.

г) $(\frac{1}{9})^{-x} > (\frac{1}{3})^{x-24}$

Приведем обе части к общему основанию $\frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$, подставим это в неравенство:

$((\frac{1}{3})^2)^{-x} > (\frac{1}{3})^{x-24}$

Упростим показатель степени слева:

$(\frac{1}{3})^{-2x} > (\frac{1}{3})^{x-24}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y=(\frac{1}{3})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$-2x < x - 24$

Решим полученное неравенство:

$24 < x + 2x$

$24 < 3x$

$8 < x$, или $x > 8$

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

д) $125^{x-2} - \sqrt[3]{5} > 0$

Перенесем $\sqrt[3]{5}$ в правую часть:

$125^{x-2} > \sqrt[3]{5}$

Приведем обе части к общему основанию 5. Так как $125 = 5^3$ и $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$, получаем:

$(5^3)^{x-2} > 5^{\frac{1}{3}}$

Упростим левую часть:

$5^{3(x-2)} > 5^{\frac{1}{3}}$

$5^{3x-6} > 5^{\frac{1}{3}}$

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$3x - 6 > \frac{1}{3}$

Решим неравенство:

$3x > 6 + \frac{1}{3}$

$3x > \frac{18}{3} + \frac{1}{3}$

$3x > \frac{19}{3}$

$x > \frac{19}{9}$

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{19}{9}$:

$\frac{19}{9} = \frac{18+1}{9} = 2\frac{1}{9}$

Ответ: $x \in (2\frac{1}{9}; +\infty)$.

е) $49 \cdot 7^x > 7^{3x+1}$

Приведем левую часть к основанию 7. Так как $49 = 7^2$, неравенство принимает вид:

$7^2 \cdot 7^x > 7^{3x+1}$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^{2+x} > 7^{3x+1}$

Так как основание $7 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$2 + x > 3x + 1$

Решим линейное неравенство:

$2 - 1 > 3x - x$

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.