Номер 47, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.47. Найдите значение выражения $3^{2x_0} + 2y_0$, где $(x_0; y_0)$ — решение системы уравнений

$\begin{cases}9^x - 3^{x+1} \cdot 2^y - 4^{y+1} = 0, \\9^x + 3^x \cdot 2^{y+1} - 2 \cdot 4^y = 11.\end{cases}$

Для нахождения значения выражения $3^{2x_0} + 2y_0$ сначала необходимо решить систему уравнений и найти ее решение $(x_0; y_0)$.

Дана система уравнений:

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, $4^y = (2^2)^y = (2^y)^2$, $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$, $2^{y+1} = 2 \cdot 2^y$ и $4^{y+1} = 4 \cdot 4^y = 4 \cdot (2^y)^2$.

Подставим эти выражения в систему:

Введем новые переменные для упрощения системы. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^y$. Поскольку $3^x > 0$ и $2^y > 0$ для любых действительных $x$ и $y$, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система в новых переменных будет выглядеть так:

Рассмотрим первое уравнение: $a^2 - 3ab - 4b^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Так как $b > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b^2$:

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 3t - 4 = 0$.

Находим корни этого уравнения, например, с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к переменным $a$ и $b$:

1. $\frac{a}{b} = 4 \implies a = 4b$. Это соотношение возможно, так как $a$ и $b$ положительны.

2. $\frac{a}{b} = -1 \implies a = -b$. Этот случай невозможен, так как $a > 0$ и $b > 0$, и они не могут иметь противоположные знаки.

Следовательно, верным является соотношение $a = 4b$. Подставим его во второе уравнение системы $a^2 + 2ab - 2b^2 = 11$:

Поскольку $b > 0$, выбираем положительный корень: $b = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$.

Теперь найдем значение $a$:

Теперь, когда мы нашли $a$ и $b$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Решение системы $(x_0; y_0)$ удовлетворяет следующим условиям:

$2^{y_0} = b = 2^{-1/2} \implies y_0 = -\frac{1}{2}$.

$3^{x_0} = a = 2\sqrt{2}$.

Нам нужно найти значение выражения $3^{2x_0} + 2y_0$.

Вычислим первое слагаемое $3^{2x_0}$. Мы можем записать его как $(3^{x_0})^2$.

Вычислим второе слагаемое $2y_0$:

Теперь сложим полученные значения:

Ответ: 7