Номер 54, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.54. Найдите $3^x$, где $x$ — наименьший корень уравнения $3^x \cdot 2^{\frac{x}{x-1}} = 36$.

Для решения задачи необходимо сначала найти все корни заданного уравнения, затем выбрать из них наименьший и вычислить для него значение выражения $3^x$.

1. Решение уравнения

Дано уравнение:

$$3^x \cdot 2^{\frac{x}{x-1}} = 36$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется знаменателем дроби в показателе степени: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Представим число 36 в виде произведения степеней с основаниями 2 и 3:

$$36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$3^x \cdot 2^{\frac{x}{x-1}} = 3^2 \cdot 2^2$$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, разделив обе части уравнения на $3^2$ и на $2^{\frac{x}{x-1}}$ (что эквивалентно переносу множителей в другую часть уравнения):

$$\frac{3^x}{3^2} = \frac{2^2}{2^{\frac{x}{x-1}}}$$

Применим свойство частного степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$$3^{x-2} = 2^{2 - \frac{x}{x-1}}$$

Упростим выражение в показателе степени у основания 2:

$$2 - \frac{x}{x-1} = \frac{2(x-1) - x}{x-1} = \frac{2x - 2 - x}{x-1} = \frac{x-2}{x-1}$$

Уравнение принимает вид:

$$3^{x-2} = 2^{\frac{x-2}{x-1}}$$

Из этого уравнения следует два возможных случая:

а) Показатель степени $x-2$ равен нулю.
Если $x-2=0$, то $x=2$. Проверим это значение: $3^{2-2} = 2^{\frac{2-2}{2-1}} \implies 3^0 = 2^0 \implies 1=1$. Равенство верное. Следовательно, $x_1 = 2$ является корнем уравнения.

б) Показатель степени $x-2$ не равен нулю.
В этом случае можно возвести обе части уравнения в степень $\frac{1}{x-2}$:

$$(3^{x-2})^{\frac{1}{x-2}} = (2^{\frac{x-2}{x-1}})^{\frac{1}{x-2}}$$

$$3^1 = 2^{\frac{1}{x-1}}$$

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

$$\log_3(3) = \log_3(2^{\frac{1}{x-1}})$$

$$1 = \frac{1}{x-1} \cdot \log_3(2)$$

Отсюда находим $x-1$:

$$x-1 = \log_3(2)$$

$$x_2 = 1 + \log_3(2)$$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 1 + \log_3(2)$.

2. Нахождение наименьшего корня

Сравним два найденных корня: $2$ и $1 + \log_3(2)$.

Для этого сравним $1$ и $\log_3(2)$.

Мы знаем, что $1 = \log_3(3)$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием больше 1 ($y=\log_3(t)$) является возрастающей, из неравенства $3 > 2$ следует, что $\log_3(3) > \log_3(2)$.

Значит, $1 > \log_3(2)$.

Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим: $1+1 > 1+\log_3(2)$, то есть $2 > 1 + \log_3(2)$.

Следовательно, наименьший корень уравнения — $x = 1 + \log_3(2)$.

3. Вычисление $3^x$

Подставим найденный наименьший корень $x = 1 + \log_3(2)$ в выражение $3^x$:

$$3^x = 3^{1 + \log_3(2)}$$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$, получаем:

$$3^{1 + \log_3(2)} = 3^1 \cdot 3^{\log_3(2)} = 3 \cdot 2 = 6$$

Итак, искомое значение равно 6.

Ответ: 6