Номер 45, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.45. Найдите значение выражения $2^x - y$, если $(x; y)$ — решение системы уравнений$\begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2, \\ 2^{x+1} - 3y = 43. \end{cases}$

Для того чтобы найти значение выражения $2^x - y$, сначала решим систему уравнений, чтобы найти значения переменных $x$ и $y$.

Исходная система уравнений:

Сначала упростим второе уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

Теперь введем замену, чтобы свести систему к линейной. Пусть $a = 2^x$. Тогда система примет вид:

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$2 \cdot (2a - 3y) = 2 \cdot 43$

$4a - 6y = 86$

Теперь сложим первое уравнение ($7a + 6y = 2$) с полученным новым уравнением ($4a - 6y = 86$):

$(7a + 6y) + (4a - 6y) = 2 + 86$

$11a = 88$

$a = \frac{88}{11} = 8$

Теперь, зная значение $a$, найдем $y$, подставив $a=8$ в любое из уравнений системы, например, в $2a - 3y = 43$:

$2(8) - 3y = 43$

$16 - 3y = 43$

$-3y = 43 - 16$

$-3y = 27$

$y = \frac{27}{-3} = -9$

Мы нашли $a=8$ и $y=-9$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$ из нашей замены $a = 2^x$:

$2^x = 8$

Поскольку $8 = 2^3$, то:

$2^x = 2^3$

$x=3$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(x; y) = (3; -9)$.

Наконец, вычислим значение выражения $2^x - y$, подставив найденные значения:

$2^x - y = 2^3 - (-9) = 8 + 9 = 17$

Значение выражения $2^x - y$: Ответ: 17