Номер 55, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.55. Решите уравнение:

a) $2^{-x+2} - 2^{-2+x} = 2^{x^2-1} - 2^{1-x^2}$;

б) $2^{x^2-3x+1} - 3^{3x-x^2-1} = 4^x - 9^{-x}$.

а) Исходное уравнение: $2^{-x+2} - 2^{-2+x} = 2^{x^2-1} - 2^{1-x^2}$
Преобразуем степени, чтобы увидеть структуру уравнения. Заметим, что $-2+x = -(2-x)$ и $1-x^2 = -(x^2-1)$.
Перепишем уравнение в виде: $2^{2-x} - 2^{-(2-x)} = 2^{x^2-1} - 2^{-(x^2-1)}$
Рассмотрим функцию $f(t) = 2^t - 2^{-t}$. Уравнение можно представить в виде $f(2-x) = f(x^2-1)$.
Найдем производную функции $f(t)$: $f'(t) = (2^t - 2^{-t})' = 2^t \ln 2 - 2^{-t} \ln 2 \cdot (-1) = \ln 2 (2^t + 2^{-t})$.
Так как $\ln 2 > 0$ и $(2^t + 2^{-t}) > 0$ для любых действительных $t$, то $f'(t) > 0$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Из свойства строго монотонной функции следует, что равенство $f(a) = f(b)$ возможно тогда и только тогда, когда $a = b$.
Приравниваем аргументы функции: $2 - x = x^2 - 1$
Получаем квадратное уравнение: $x^2 + x - 3 = 0$
Решаем его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$
Ответ: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.

б) Исходное уравнение: $2^{x^2-3x+1} - 3^{3x-x^2-1} = 4^x - 9^{-x}$
Преобразуем степени в уравнении. Заметим, что $3x-x^2-1 = -(x^2-3x+1)$, $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, и $9^{-x} = (3^2)^{-x} = 3^{-2x}$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение: $2^{x^2-3x+1} - 3^{-(x^2-3x+1)} = 2^{2x} - 3^{-2x}$
Рассмотрим функцию $g(t) = 2^t - 3^{-t}$. Уравнение можно представить в виде $g(x^2-3x+1) = g(2x)$.
Найдем производную функции $g(t)$: $g'(t) = (2^t - 3^{-t})' = 2^t \ln 2 - 3^{-t} \ln 3 \cdot (-1) = 2^t \ln 2 + 3^{-t} \ln 3$.
Так как $\ln 2 > 0$, $\ln 3 > 0$, $2^t > 0$ и $3^{-t} > 0$ для любых действительных $t$, то $g'(t) > 0$. Это означает, что функция $g(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Поскольку функция строго монотонна, равенство $g(a) = g(b)$ выполняется только при $a=b$.
Приравниваем аргументы функции: $x^2 - 3x + 1 = 2x$
Получаем квадратное уравнение: $x^2 - 5x + 1 = 0$
Решаем его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$
Ответ: $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.