Номер 35, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

$(\sqrt{5} + 2)^{\sin x} - (\sqrt{5} - 2)^{\sin x} = 4$

Дано уравнение:

$$ (\sqrt{5}+2)^{\sin x} - (\sqrt{5}-2)^{\sin x} = 4 $$

Для решения этого уравнения обратим внимание на основания степеней. Числа $(\sqrt{5}+2)$ и $(\sqrt{5}-2)$ являются сопряженными. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$$ (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1 $$

Из этого следует, что одно число является обратным другому:

$$ \sqrt{5}-2 = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = (\sqrt{5}+2)^{-1} $$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$$ (\sqrt{5}+2)^{\sin x} - ((\sqrt{5}+2)^{-1})^{\sin x} = 4 $$

$$ (\sqrt{5}+2)^{\sin x} - (\sqrt{5}+2)^{-\sin x} = 4 $$

Чтобы упростить уравнение, введем замену. Пусть $y = (\sqrt{5}+2)^{\sin x}$. Поскольку основание степени $\sqrt{5}+2 > 0$, то и значение $y$ всегда будет положительным ($y > 0$).

С новой переменной уравнение принимает вид:

$$ y - \frac{1}{y} = 4 $$

Умножим все члены уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$$ y^2 - 1 = 4y $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ y^2 - 4y - 1 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20 $$

Корни уравнения:

$$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} $$

Мы получили два возможных значения для $y$:

1. $y_1 = 2 + \sqrt{5}$
2. $y_2 = 2 - \sqrt{5}$

Теперь нужно проверить эти корни на соответствие условию $y>0$.

• $y_1 = 2 + \sqrt{5}$ — это число очевидно положительное, так что этот корень нам подходит.
• $y_2 = 2 - \sqrt{5}$. Поскольку $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то $2 < \sqrt{5}$, и следовательно, $2 - \sqrt{5} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $y>0$, поэтому он является посторонним.

Таким образом, у нас остается единственное решение для $y$: $y = 2 + \sqrt{5}$.

Теперь вернемся к нашей замене $y = (\sqrt{5}+2)^{\sin x}$:

$$ (\sqrt{5}+2)^{\sin x} = 2 + \sqrt{5} $$

Мы видим, что правая часть равна основанию степени в левой части:

$$ (\sqrt{5}+2)^{\sin x} = (\sqrt{5}+2)^1 $$

Так как основания степеней равны и больше 1, мы можем приравнять их показатели:

$$ \sin x = 1 $$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.