Номер 5, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.5. Изобразите схематически график функции:

а) $y = x^{-0.4}$;

б) $y = 1 - x^{-0.4}$;

в) $y = (x - 1)^{-0.4}$;

г) $y = |x|^{-0.4}$;

д) $y = |x + 3|^{0.4}$;

е) $y = (|x| + 2)^{-0.4}$.

Для построения графиков будем использовать метод преобразований, отталкиваясь от графиков базовых степенных функций $y=x^{-0.4}$ и $y=x^{0.4}$.

Функция $y=x^{-0.4} = x^{-2/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$.

• Область определения: В школьном курсе степенная функция с нецелым показателем обычно рассматривается для положительных оснований, т.е. $x > 0$.
• График: Это убывающая, выпуклая вниз кривая в первом квадранте, проходящая через точку $(1,1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

Функция $y=x^{0.4} = x^{2/5} = \sqrt[5]{x^2}$.

• Область определения: $x \ge 0$.
• График: Это возрастающая, выпуклая вверх кривая, выходящая из начала координат $(0,0)$ и проходящая через точку $(1,1)$.

Это базовая степенная функция с показателем $\alpha = -0.4$. Поскольку $-1 < \alpha < 0$, её график представляет собой кривую, расположенную в первом координатном квадранте.

Свойства:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Функция убывает на всей области определения.
• Ось $Oy$ ($x=0$) — вертикальная асимптота.
• Ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальная асимптота.
• График проходит через точку $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y=x^{-0.4}$ — это убывающая кривая в первой четверти, проходящая через точку $(1,1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

График данной функции получается из графика $y=x^{-0.4}$ путем следующих преобразований:

1. Симметричное отражение графика $y=x^{-0.4}$ относительно оси $Ox$. Получаем график функции $y=-x^{-0.4}$.
2. Сдвиг полученного графика вверх на 1 единицу.

Свойства:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 1)$.
• Функция возрастает на всей области определения.
• Ось $Oy$ ($x=0$) — вертикальная асимптота.
• Прямая $y=1$ — горизонтальная асимптота.
• График пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, так как $1 - 1^{-0.4} = 0$.

Ответ: График функции $y = 1 - x^{-0.4}$ получается из графика $y = x^{-0.4}$ отражением относительно оси Ox и сдвигом вверх на 1. Это возрастающая кривая с областью определения $(0, +\infty)$, пересекающая ось Ox в точке $(1,0)$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=1$.

График данной функции получается из графика $y=x^{-0.4}$ сдвигом вправо на 1 единицу.

Свойства:

• Область определения: $x-1 > 0 \implies x > 1$, т.е. $D(y) = (1; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Функция убывает на всей области определения.
• Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.
• Ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальная асимптота.
• График проходит через точку $(2, 1)$, так как $(2-1)^{-0.4} = 1^{-0.4} = 1$.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^{-0.4}$ получается из графика $y = x^{-0.4}$ сдвигом вправо на 1. Это убывающая кривая с областью определения $(1, +\infty)$, проходящая через точку $(2,1)$, с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = |-x|^{-0.4} = |x|^{-0.4} = y(x)$. Её график симметричен относительно оси $Oy$. Для построения графика:

1. Строим график $y = x^{-0.4}$ для $x > 0$.
2. Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси $Oy$.

Свойства:

• Область определения: $|x| > 0 \implies x \neq 0$, т.е. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.
• Ось $Oy$ ($x=0$) — вертикальная асимптота.
• Ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальная асимптота.
• График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: График функции $y=|x|^{-0.4}$ симметричен относительно оси Oy. Для $x > 0$ он совпадает с графиком $y=x^{-0.4}$. Часть для $x<0$ получается отражением. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = |x|^{0.4}$ сдвигом влево на 3 единицы. График $y = |x|^{0.4}$ в свою очередь симметричен относительно оси $Oy$ и имеет точку возврата (клюв) в начале координат.

Свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• График симметричен относительно прямой $x=-3$.
• Функция убывает на $(-\infty; -3]$ и возрастает на $[-3; +\infty)$.
• В точке $x=-3$ функция достигает минимума, $y_{min}=0$. Точка $(-3, 0)$ является точкой возврата (клювом).
• График проходит через точки $(-2, 1)$ и $(-4, 1)$.

Ответ: График функции $y=|x+3|^{0.4}$ получается сдвигом графика $y=|x|^{0.4}$ на 3 единицы влево. Он симметричен относительно прямой $x=-3$, имеет точку минимума (клюв) в $(-3, 0)$, убывает на $(-\infty, -3]$ и возрастает на $[-3, +\infty)$.

Функция является четной, так как содержит $|x|$. Ее график симметричен относительно оси $Oy$. Для построения достаточно рассмотреть $x \ge 0$, где функция принимает вид $y=(x+2)^{-0.4}$, и затем отразить график относительно оси $Oy$.

Свойства:

• Область определения: Основание степени $|x|+2 \ge 2$ всегда положительно. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Минимальное значение основания равно 2 (при $x=0$). Так как показатель степени отрицательный, функция достигает максимума в этой точке: $y_{max} = (0+2)^{-0.4} = 2^{-0.4} = \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Таким образом, $E(y) = (0; 2^{-0.4}]$.
• Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.
• Точка максимума: $(0, 2^{-0.4})$.
• Ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальная асимптота. Вертикальных асимптот нет.

Ответ: График функции $y=(|x|+2)^{-0.4}$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет максимум в точке $(0, 2^{-0.4})$. При $x \to \pm\infty$ график асимптотически приближается к оси Ox ($y=0$). Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.