Номер 8, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.8. Изобразите схематически график функции:

а) $y = |x - 1|^{{\\sqrt{3}}} + 2;$

б) $y = \\left| |x + 2|^{-\\pi} - 3 \\right|.$

а) Для построения схематического графика функции $y = |x - 1|^{\sqrt{3}} + 2$ выполним последовательные преобразования, начиная с базовой степенной функции.

1. Базовая функция $y = |x|^{\alpha}$ где $\alpha = \sqrt{3}$. Поскольку показатель степени $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, график этой функции симметричен относительно оси Oy, имеет минимум (вершину) в точке $(0,0)$, где плавно касается оси Ox, и его ветви направлены вверх. Форма графика напоминает параболу $y=x^2$, но не является ею.
2. Сдвиг по оси Ox: $y = |x - 1|^{\sqrt{3}}$. График функции $y = |x|^{\sqrt{3}}$ сдвигается на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Вершина графика перемещается в точку $(1,0)$, а осью симметрии становится вертикальная прямая $x=1$.
3. Сдвиг по оси Oy: $y = |x - 1|^{\sqrt{3}} + 2$. График функции $y = |x - 1|^{\sqrt{3}}$ сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Итоговый график обладает следующими свойствами:

• Вершина графика (точка минимума) находится в точке $(1, 2)$.
• График симметричен относительно прямой $x=1$.
• Ветви графика направлены вверх.
• Наименьшее значение функции равно 2.
• График пересекает ось Oy в точке $(0,3)$, так как при $x=0$, $y = |0-1|^{\sqrt{3}} + 2 = 1 + 2 = 3$.

Ответ: График функции — это кривая, симметричная относительно прямой $x=1$, с вершиной в точке $(1, 2)$ и ветвями, уходящими вверх. Минимальное значение функции равно 2.

б) Для построения схематического графика функции $y = ||x + 2|^{-\pi} - 3|$ также выполним последовательные преобразования.

1. Базовая функция $y = |x|^{\alpha}$ где $\alpha = -\pi$. Поскольку показатель степени $-\pi \approx -3.14159 < 0$, график этой функции симметричен относительно оси Oy и состоит из двух ветвей, расположенных в первом и втором квадрантах. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Сдвиг по оси Ox: $y = |x + 2|^{-\pi}$. Сдвигаем предыдущий график на 2 единицы влево. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-2$.
3. Сдвиг по оси Oy: $y_1 = |x + 2|^{-\pi} - 3$. Сдвигаем полученный график на 3 единицы вниз. Вертикальная асимптота остается $x=-2$, а горизонтальная асимптота становится $y=-3$.
4. Применение внешнего модуля: $y = |y_1| = ||x + 2|^{-\pi} - 3|$. Эта операция отражает часть графика $y_1$, которая находится ниже оси абсцисс ($y_1 < 0$), симметрично относительно этой оси.
   • Часть графика $y_1$, где $y_1 < 0$, отражается вверх. В результате горизонтальная асимптота $y=-3$ для $y_1$ преобразуется в горизонтальную асимптоту $y=3$ для итогового графика $y$. При $x \to \pm\infty$, график функции $y$ приближается к этой асимптоте снизу.
   • Вертикальная асимптота $x=-2$ сохраняется. При $x$, стремящемся к -2, $y$ стремится к $+\infty$.
   • Точки, в которых график $y_1$ пересекал ось Ox, становятся точками, в которых итоговый график касается оси Ox. Найдем координаты x этих точек: $|x+2|^{-\pi} - 3 = 0 \Rightarrow |x+2|^{-\pi} = 3 \Rightarrow |x+2|^\pi = \frac{1}{3} \Rightarrow |x+2| = 3^{-1/\pi}$. Отсюда $x = -2 \pm 3^{-1/\pi}$. В этих точках график имеет острые минимумы (точки излома).

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=-2$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. Он симметричен относительно прямой $x=-2$. График касается оси Ox в двух точках $x = -2 \pm 3^{-1/\pi}$, образуя в них "клювы" (острые минимумы). От этих точек график уходит вверх: к бесконечности вдоль вертикальной асимптоты $x=-2$ (внутри интервала между точками касания) и асимптотически приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=$3 (вне этого интервала).