Номер 17, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.17. Упростите выражение

$\left( \frac{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}}{m^{-0.5\sqrt{3}}} \right)^{-1} : \left( \frac{m^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n \cdot m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{4}}+1} - \frac{n^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-1}{n^{0.25\sqrt{3}} - m^{0.25\sqrt{3}}} \right)$

Для упрощения данного выражения выполним его по частям.

1. Упрощение первого выражения (делимого).

Сначала упростим выражение, стоящее слева от знака деления:

$$ \left(\frac{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}}{m^{-0,5\sqrt{3}}}\right)^{-1} $$

Степень "-1" означает, что мы должны взять обратную дробь (перевернуть ее). Также преобразуем десятичную дробь в показателе степени: $0,5 = \frac{1}{2}$.

$$ \left(\frac{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}}{m^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}\right)^{-1} = \frac{m^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}} $$

Ответ: $ \frac{m^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}} $

2. Упрощение второго выражения (делителя в скобках).

Теперь упростим выражение в больших скобках. Преобразуем десятичную дробь $0,25 = \frac{1}{4}$. Также, судя по структуре выражения, слагаемые "+1" и "-1" находятся в показателях степеней. Выражение принимает вид:

$$ \frac{m^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n \cdot m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{4}+1}} - \frac{n^{\frac{\sqrt{3}}{2}-1}}{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}} $$

Упростим первую дробь. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}$ и $b = n^{\frac{\sqrt{3}}{4}}$. В знаменателе вынесем общий множитель $n$.

$$ \frac{m^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n \cdot m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \cdot n^1} = \frac{(m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{4}})(m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} + n^{\frac{\sqrt{3}}{4}})}{n(m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} = \frac{m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} + n^{\frac{\sqrt{3}}{4}}}{n} $$

Теперь вычтем вторую дробь из полученного результата:

$$ \frac{m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} + n^{\frac{\sqrt{3}}{4}}}{n} - \frac{n^{\frac{\sqrt{3}}{2}-1}}{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}} $$

Приведем дроби к общему знаменателю $n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})$:

$$ \frac{(m^{\frac{\sqrt{3}}{4}} + n^{\frac{\sqrt{3}}{4}})(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})}{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} - \frac{n \cdot n^{\frac{\sqrt{3}}{2}-1}}{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} $$

В числителе первой дроби снова применяем формулу разности квадратов, а во второй дроби упрощаем степени:

$$ \frac{(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}})^2 - (m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})^2 - n^{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}-1}}{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} = \frac{n^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - n^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} $$

Сокращаем $n^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ и $-n^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ в числителе:

$$ \frac{-m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} $$

Ответ: $ \frac{-m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} $

3. Выполнение деления и получение окончательного результата.

Теперь разделим результат первого шага на результат второго шага. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$$ \frac{m^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}} : \frac{-m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})} = \frac{m^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}}} \cdot \frac{n(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})}{-m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}} $$

Сокращаем общий множитель $(n^{\frac{\sqrt{3}}{4}} - m^{\frac{\sqrt{3}}{4}})$:

$$ \frac{m^{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot n}{-m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = - \frac{n \cdot m^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}} $$

Используем свойство степеней $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:

$$ -n \cdot m^{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}} = -n \cdot m^{-\frac{2\sqrt{3}}{2}} = -n \cdot m^{-\sqrt{3}} $$

Результат также можно записать в виде дроби:

$$ -n \cdot m^{-\sqrt{3}} = -\frac{n}{m^{\sqrt{3}}} $$

Ответ: $ -n m^{-\sqrt{3}} $