Номер 9, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.9. Для функции $f(x) = x^{\sqrt{3}}$ известно, что $f(a) = n$. Найдите:

a) $f(a^3)$;

б) $f(a^{-2})$.

По условию задачи дана функция $f(x) = x^{\sqrt{3}}$ и известно, что $f(a) = n$.

Подставим $a$ в определение функции, чтобы связать $a$ и $n$:
$f(a) = a^{\sqrt{3}}$
Таким образом, мы получаем основное соотношение: $n = a^{\sqrt{3}}$.

a) $f(a^3)$;
Чтобы найти значение $f(a^3)$, подставим в функцию вместо $x$ выражение $a^3$:
$f(a^3) = (a^3)^{\sqrt{3}}$
Воспользуемся свойством степеней $(x^m)^p = x^{m \cdot p}$:
$f(a^3) = a^{3 \cdot \sqrt{3}} = a^{3\sqrt{3}}$
Теперь преобразуем полученное выражение, чтобы использовать известное нам соотношение $n = a^{\sqrt{3}}$. Применим свойство степеней в обратном порядке:
$a^{3\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{3}})^3$
Подставим $n$ вместо $a^{\sqrt{3}}$:
$(a^{\sqrt{3}})^3 = n^3$
Таким образом, $f(a^3) = n^3$.
Ответ: $n^3$.

б) $f(a^{-2})$.
Чтобы найти значение $f(a^{-2})$, подставим в функцию вместо $x$ выражение $a^{-2}$:
$f(a^{-2}) = (a^{-2})^{\sqrt{3}}$
Используя то же свойство степеней $(x^m)^p = x^{m \cdot p}$, получаем:
$f(a^{-2}) = a^{-2 \cdot \sqrt{3}} = a^{-2\sqrt{3}}$
Преобразуем выражение, чтобы использовать $n = a^{\sqrt{3}}$:
$a^{-2\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{3}})^{-2}$
Подставим $n$ вместо $a^{\sqrt{3}}$:
$(a^{\sqrt{3}})^{-2} = n^{-2}$
Это выражение также можно записать в виде дроби: $n^{-2} = \frac{1}{n^2}$.
Таким образом, $f(a^{-2}) = n^{-2}$.
Ответ: $n^{-2}$.