Номер 11, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.11. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

a) $f(x) = |x|^{\frac{1}{3}};

б) $f(x) = |x|^{-\sqrt{7}} - 2.

Для того чтобы исследовать функцию на четность или нечетность, необходимо выполнить следующую проверку:

1. Проверить область определения функции $D(f)$ на симметричность. Область определения является симметричной, если для любого $x$, принадлежащего $D(f)$, число $-x$ также принадлежит $D(f)$. Если область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.
2. Если область определения симметрична, найти $f(-x)$ и сравнить с $f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$, то функция является четной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$, то функция является нечетной.
   • Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

a) Рассмотрим функцию $f(x) = |x|^{\frac{1}{3}}$.

1. Область определения.
Функция представляет собой модуль числа $x$, возведенный в степень $\frac{1}{3}$. Выражение $|x|$ определено для любого действительного числа $x$. Кубический корень (степень $\frac{1}{3}$) можно извлечь из любого неотрицательного числа. Так как $|x| \ge 0$ для всех $x$, область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.

2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |-x|^{\frac{1}{3}}$

Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:

$f(-x) = |x|^{\frac{1}{3}}$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что:

$f(-x) = f(x)$

Так как область определения симметрична и выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = |x|^{-\sqrt{7}} - 2$.

1. Область определения.
Функцию можно переписать в виде $f(x) = \frac{1}{|x|^{\sqrt{7}}} - 2$. Поскольку в знаменателе дроби находится выражение $|x|^{\sqrt{7}}$, оно не должно равняться нулю. Это условие выполняется, если $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.

2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |-x|^{-\sqrt{7}} - 2$

Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:

$f(-x) = |x|^{-\sqrt{7}} - 2$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что:

$f(-x) = f(x)$

Так как область определения симметрична и выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.