Номер 4, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.4. Изобразите схематически график функции:

а) $y = x^{\frac{1}{3}};

б) $y = 2 - x^{\frac{1}{3}};

в) $y = (x + 1)^{\frac{1}{3}};

г) $y = |x|^{\frac{1}{3}};

д) $y = |x - 1|^{\frac{1}{3}};

е) $y = (|x| - 2)^{\frac{1}{3}}.$

Для решения данной задачи мы будем использовать метод преобразования графиков, отталкиваясь от базового графика функции $y = x^{\frac{1}{3}}$ (кубический корень из x).

Это основная функция, график которой является отправной точкой для построения остальных.

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Свойства: Функция является нечетной ($(-x)^{\frac{1}{3}} = -x^{\frac{1}{3}}$), ее график симметричен относительно начала координат (0,0).
• Ключевые точки: (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).
• Поведение: График проходит через начало координат, где имеет вертикальную касательную (точка перегиба). Функция возрастает на всей области определения.

Ответ: Схематически, это кривая, похожая на график функции $y=x^3$, но "лежащая на боку" (повернутая на 90 градусов и отраженная). Она проходит через начало координат, изгибаясь, и уходит в бесконечность в первой и третьей координатных четвертях.

График этой функции можно получить из графика $y = x^{\frac{1}{3}}$ следующими преобразованиями:

1. $y_1 = -x^{\frac{1}{3}}$: Симметричное отражение графика $y = x^{\frac{1}{3}}$ относительно оси Ox. Теперь функция становится убывающей.
2. $y = -x^{\frac{1}{3}} + 2$: Сдвиг полученного графика $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Ответ: Точка перегиба смещается из (0,0) в точку (0,2). График пересекает ось Ox в точке, где $y=0$, то есть $2 - x^{\frac{1}{3}} = 0$, откуда $x^{\frac{1}{3}}=2$, $x=8$. Таким образом, график проходит через точки (0,2) и (8,0) и является убывающим на всей области определения.

График этой функции получается из графика $y = x^{\frac{1}{3}}$ путем одного преобразования:

• Сдвиг (параллельный перенос) графика $y = x^{\frac{1}{3}}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Ответ: Точка перегиба смещается из (0,0) в точку (-1,0). Функция остается возрастающей. График пересекает ось Oy при $x=0$, $y=(0+1)^{\frac{1}{3}}=1$, то есть в точке (0,1).

Этот график строится на основе $y = x^{\frac{1}{3}}$ с использованием модуля:

1. Для $x \ge 0$, $|x| = x$, поэтому график совпадает с графиком $y = x^{\frac{1}{3}}$. Оставляем часть базового графика, расположенную в первой координатной четверти (включая начало координат).
2. Так как функция четная ($|-x|^{\frac{1}{3}} = |x|^{\frac{1}{3}}$), ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому отражаем часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Ответ: Получается график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. В точке (0,0) график имеет "клюв" (точку возврата). График целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

График этой функции можно получить, сдвинув график, построенный в пункте г):

• Сдвиг графика $y = |x|^{\frac{1}{3}}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Ответ: Точка "клюва" смещается из (0,0) в точку (1,0). График симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$. Он пересекает ось Oy при $x=0$, $y=|0-1|^{\frac{1}{3}}=1$, то есть в точке (0,1).

Этот график строится по правилу $f(|x|)$ от функции $y = (x-2)^{\frac{1}{3}}$:

1. Сначала строим график функции $y_1 = (x - 2)^{\frac{1}{3}}$. Это график $y = x^{\frac{1}{3}}$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Точка перегиба находится в (2,0).
2. Для построения $y = (|x| - 2)^{\frac{1}{3}}$ берем часть графика $y_1$ при $x \ge 0$. Эта часть проходит через точку $(0, (0-2)^{\frac{1}{3}}) = (0, -\sqrt[3]{2})$ и имеет точку перегиба в (2,0).
3. Отражаем эту часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy, чтобы получить вторую половину для $x < 0$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Он имеет две точки перегиба с вертикальными касательными: в (-2,0) и (2,0). Ось Oy график пересекает в точке $(0, -\sqrt[3]{2})$.