Номер 11, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Упростите выражение $ \left( \frac{y}{xy - x^2} + \frac{x}{xy - y^2} \right) : \frac{x^2 + 2xy + y^2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} $ и найдите его значение при $ x = -\frac{1}{7}, y = \frac{1}{3} $.

Упростите выражение

Чтобы упростить выражение, выполним действия по порядку.
1. Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{y}{xy - x^2} + \frac{x}{xy - y^2}$.
Разложим знаменатели на множители: $xy - x^2 = x(y - x)$ и $xy - y^2 = y(x - y) = -y(y-x)$.
$\frac{y}{x(y - x)} + \frac{x}{-y(y - x)} = \frac{y}{x(y - x)} - \frac{x}{y(y - x)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $xy(y - x)$:
$\frac{y \cdot y - x \cdot x}{xy(y - x)} = \frac{y^2 - x^2}{xy(y - x)}$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:
$\frac{(y - x)(y + x)}{xy(y - x)} = \frac{x+y}{xy}$
2. Теперь упростим делитель: $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$.
Числитель $x^2 + 2xy + y^2$ является формулой квадрата суммы и равен $(x+y)^2$.
Знаменатель $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ приведем к общему знаменателю $xy$: $\frac{y+x}{xy}$.
Таким образом, делитель равен:
$\frac{(x+y)^2}{\frac{x+y}{xy}} = (x+y)^2 \cdot \frac{xy}{x+y} = xy(x+y)$
3. Выполним деление: разделим результат первого действия на результат второго.
$\frac{x+y}{xy} : (xy(x+y)) = \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{xy(x+y)} = \frac{1}{(xy)^2} = \frac{1}{x^2y^2}$
Ответ: $\frac{1}{x^2y^2}$.

Найдите его значение при $x = -\frac{1}{7}, y = \frac{1}{3}$

Подставим значения $x = -\frac{1}{7}$ и $y = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $\frac{1}{x^2y^2}$.
$\frac{1}{x^2y^2} = \frac{1}{(-\frac{1}{7})^2 \cdot (\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{(\frac{1^2}{(-7)^2}) \cdot (\frac{1^2}{3^2})} = \frac{1}{\frac{1}{49} \cdot \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{1}{441}}$
Чтобы разделить 1 на дробь, нужно умножить 1 на перевернутую дробь:
$1 \cdot \frac{441}{1} = 441$.
Ответ: 441.