Номер 8, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Упростите выражение

$(4x^{-4} - x^{-2} + 6x^{-1} - 9) : (2x^{-4} + x^{-3} - 3x^{-2}).$

а) $3x^{-2} - x^{-1} + 2;$

б) $2 - x^{-1} + 3;$

в) $3x^{2} - x + 2;$

г) $-x + 2;$

д) $3x^{2} - x.$

Для того чтобы упростить данное выражение, мы преобразуем его из выражения с отрицательными степенями в частное двух многочленов. Исходное выражение:

$(4x^{-4} - x^{-2} + 6x^{-1} - 9) : (2x^{-4} + x^{-3} - 3x^{-2})$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем выражение в виде дробей:

$(\frac{4}{x^4} - \frac{1}{x^2} + \frac{6}{x} - 9) : (\frac{2}{x^4} + \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^2})$

Чтобы выполнить деление, приведем выражения в скобках к общему знаменателю $x^4$.

Делимое (первая скобка) становится:

$\frac{4}{x^4} - \frac{x^2}{x^4} + \frac{6x^3}{x^4} - \frac{9x^4}{x^4} = \frac{-9x^4 + 6x^3 - x^2 + 4}{x^4}$

Делитель (вторая скобка) становится:

$\frac{2}{x^4} + \frac{x}{x^4} - \frac{3x^2}{x^4} = \frac{-3x^2 + x + 2}{x^4}$

Теперь разделим полученные дроби:

$\frac{-9x^4 + 6x^3 - x^2 + 4}{x^4} : \frac{-3x^2 + x + 2}{x^4}$

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь. При условии, что $x \neq 0$, знаменатели $x^4$ сокращаются:

$\frac{-9x^4 + 6x^3 - x^2 + 4}{x^4} \cdot \frac{x^4}{-3x^2 + x + 2} = \frac{-9x^4 + 6x^3 - x^2 + 4}{-3x^2 + x + 2}$

Задача сводится к делению многочлена $(-9x^4 + 6x^3 - x^2 + 4)$ на многочлен $(-3x^2 + x + 2)$. Выполним деление в столбик.

1. Делим старший член делимого $(-9x^4)$ на старший член делителя $(-3x^2)$ и получаем первый член частного: $\frac{-9x^4}{-3x^2} = 3x^2$.

2. Умножаем делитель на $3x^2$: $3x^2(-3x^2 + x + 2) = -9x^4 + 3x^3 + 6x^2$.

3. Вычитаем полученное выражение из делимого: $(-9x^4 + 6x^3 - x^2 + 4) - (-9x^4 + 3x^3 + 6x^2) = 3x^3 - 7x^2 + 4$.

4. Делим старший член остатка $(3x^3)$ на старший член делителя $(-3x^2)$ и получаем второй член частного: $\frac{3x^3}{-3x^2} = -x$.

5. Умножаем делитель на $-x$: $-x(-3x^2 + x + 2) = 3x^3 - x^2 - 2x$.

6. Вычитаем из предыдущего остатка: $(3x^3 - 7x^2 + 4) - (3x^3 - x^2 - 2x) = -6x^2 + 2x + 4$.

7. Делим старший член нового остатка $(-6x^2)$ на старший член делителя $(-3x^2)$ и получаем третий член частного: $\frac{-6x^2}{-3x^2} = 2$.

8. Умножаем делитель на $2$: $2(-3x^2 + x + 2) = -6x^2 + 2x + 4$.

9. Вычитаем из последнего остатка: $(-6x^2 + 2x + 4) - (-6x^2 + 2x + 4) = 0$.

Остаток равен нулю, значит, деление выполнено нацело. Результат упрощения выражения — это полученное частное $3x^2 - x + 2$.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, мы находим, что он соответствует варианту в).