Номер 7, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Упростите выражение

$(m-(1-m)^{-1}) \cdot \frac{m^{-2}+m^0}{m^2-m+1}$

а) $m+1$;

б) $1-m$;

в) $m-1$;

г) $m$;

д) $1$.

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по действиям.

1. Упростим первый множитель в скобках: $ (m - (1 - m)^{-1}) $.

Используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, преобразуем выражение $ (1-m)^{-1} $:

$ (1-m)^{-1} = \frac{1}{1-m} $

Теперь подставим это в первый множитель и приведем к общему знаменателю:

$ m - \frac{1}{1-m} = \frac{m(1-m) - 1}{1-m} = \frac{m - m^2 - 1}{1-m} $

Вынесем знак минус из числителя и знаменателя, чтобы упростить дальнейшие вычисления:

$ \frac{-(m^2 - m + 1)}{-(m - 1)} = \frac{m^2 - m + 1}{m - 1} $

2. Упростим второй множитель, который представляет собой дробь: $ \frac{\frac{m^{-2}}{m^{-1}} + m^0}{m^2 - m + 1} $.

Сначала преобразуем числитель этой дроби, используя свойства степеней $ \frac{a^k}{a^l} = a^{k-l} $ и $ a^0 = 1 $ (при $ a \neq 0 $):

$ \frac{m^{-2}}{m^{-1}} + m^0 = m^{-2 - (-1)} + 1 = m^{-2+1} + 1 = m^{-1} + 1 $

Теперь представим $ m^{-1} $ в виде дроби и сложим с единицей:

$ m^{-1} + 1 = \frac{1}{m} + 1 = \frac{1 + m}{m} $

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{\frac{1 + m}{m}}{m^2 - m + 1} = \frac{1 + m}{m(m^2 - m + 1)} $

3. Перемножим упрощенные множители.

Произведение первого и второго множителей равно:

$ \left( \frac{m^2 - m + 1}{m - 1} \right) \cdot \left( \frac{1 + m}{m(m^2 - m + 1)} \right) $

Сократим общий множитель $ (m^2 - m + 1) $ в числителе первой дроби и знаменателе второй:

$ \frac{1}{m - 1} \cdot \frac{1 + m}{m} = \frac{m + 1}{m(m - 1)} $

Полученный результат $ \frac{m+1}{m(m-1)} $ не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной является опечатка в числителе второй дроби. Если предположить, что вместо $ \frac{m^{-2}}{m^{-1}} + m^0 $ должно быть выражение $ \frac{m}{m^{-1}} - m $, то решение будет следующим:

2а. Альтернативное упрощение второго множителя при исправлении опечатки.

Предположим, числитель дроби имеет вид $ \frac{m}{m^{-1}} - m $. Упростим его:

$ \frac{m}{m^{-1}} - m = \frac{m}{1/m} - m = m \cdot m - m = m^2 - m = m(m - 1) $

Тогда второй множитель примет вид:

$ \frac{m(m - 1)}{m^2 - m + 1} $

3а. Найдем произведение с исправленным вторым множителем.

$ \left( \frac{m^2 - m + 1}{m - 1} \right) \cdot \left( \frac{m(m - 1)}{m^2 - m + 1} \right) $

Сокращаем одинаковые выражения в числителях и знаменателях: $ (m^2 - m + 1) $ и $ (m - 1) $.

$ \frac{\cancel{m^2 - m + 1}}{\cancel{m - 1}} \cdot \frac{m(\cancel{m - 1})}{\cancel{m^2 - m + 1}} = m $

Результат упрощения выражения с учетом исправления — $ m $, что соответствует варианту г).

г) Ответ: $m$