Номер 32.7, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.7. Сколько различных «слов» можно составить из слова «алгоритм», переставляя буквы так, чтобы гласные не стояли рядом?

Для решения задачи определим количество гласных и согласных букв в слове «алгоритм». Все буквы в этом слове уникальны.

• Гласные буквы: а, о, и (всего 3).
• Согласные буквы: л, г, р, т, м (всего 5).

Условие «гласные не стояли рядом» означает, что между любыми двумя гласными должна быть как минимум одна согласная. Для подсчета таких комбинаций будем использовать метод расстановки по слотам.

Шаг 1: Расстановка согласных.
Сначала расставим 5 согласных букв. Поскольку все они различны, количество способов их расстановки равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$.
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ способов.

Шаг 2: Размещение гласных.
Теперь разместим 3 гласные буквы. 5 согласных букв (С) образуют 6 возможных позиций (слотов), в которые можно поместить гласные, чтобы они не оказались рядом:
_ С _ С _ С _ С _ С _
Нужно выбрать 3 из этих 6 слотов для 3 различных гласных. Поскольку порядок гласных важен (слово «аро» отличается от «ора»), мы вычисляем число размещений из 6 по 3, которое обозначается $A_6^3$.
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ способов.

Шаг 3: Вычисление общего числа слов.
По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных «слов» равно произведению числа способов расстановки согласных на число способов размещения гласных.
$N = (\text{число расстановок согласных}) \times (\text{число размещений гласных}) = P_5 \cdot A_6^3 = 120 \cdot 120 = 14400$.

Ответ: можно составить 14400 различных «слов».