Номер 32.12, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.12. Сколько можно составить различных четных пятизначных номеров из цифр 2, 3, 5, 7, 9, 1 (цифры не повторяются)?

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам необходимо найти количество различных пятизначных четных чисел, которые можно составить из набора цифр {1, 2, 3, 5, 7, 9} без их повторения.

Сформулируем основные условия для искомых чисел:
1. Число является пятизначным.
2. Число является четным.
3. Все цифры в числе различны.
4. Цифры выбираются из множества {1, 2, 3, 5, 7, 9}.

Решение будем строить по шагам, исходя из этих условий. Самым строгим ограничением является четность числа. Число считается четным, если его последняя цифра четная. В предоставленном наборе {1, 2, 3, 5, 7, 9} есть только одна четная цифра — 2. Следовательно, любое составленное нами число должно оканчиваться на 2, чтобы быть четным. Это означает, что для последней, пятой, позиции у нас есть только один возможный вариант.

После того как мы определили последнюю цифру (2), у нас остаются цифры {1, 3, 5, 7, 9} — всего 5 цифр. Этими цифрами необходимо заполнить оставшиеся четыре позиции в пятизначном номере.

Количество способов выбрать и разместить 4 цифры из 5 доступных на 4 позициях без повторений определяется как число размещений из 5 по 4. В комбинаторике это обозначается как $A_5^4$.

Формула для расчета числа размещений из $n$ элементов по $k$ позициям:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=5$ (количество оставшихся цифр) и $k=4$ (количество свободных позиций). Подставим эти значения в формулу:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, существует 120 способов заполнить первые четыре позиции числа. Это можно также рассчитать по правилу произведения: для первой позиции есть 5 вариантов, для второй — 4, для третьей — 3, для четвертой — 2. Общее число комбинаций для первых четырех позиций равно $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$. Так как для пятой позиции есть только 1 вариант (цифра 2), итоговое количество номеров составляет $120 \times 1 = 120$.

32.12. Ответ: 120