Номер 32.6, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.6. Сколько различных «слов» можно составить из слова «период», переставляя буквы так, чтобы гласные стояли рядом?

Для решения этой задачи по комбинаторике необходимо определить количество возможных перестановок букв в слове «период» с заданным ограничением.

1. Анализ слова. Слово «период» состоит из 6 букв: п, е, р, и, о, д. Все буквы в слове уникальны. В слове 3 гласные буквы (е, и, о) и 3 согласные буквы (п, р, д).

2. Применение условия. Согласно условию, все гласные буквы должны стоять рядом. Чтобы выполнить это условие, мы можем рассматривать группу из трех гласных (е, и, о) как один единый элемент или блок. Обозначим этот блок, например, как «Г».

3. Перестановка блоков. Теперь задача сводится к нахождению числа перестановок для 4 элементов: трех согласных букв (п, р, д) и одного блока гласных (Г). Количество перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=4$, поэтому число перестановок равно $P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

4. Перестановка внутри блока. Внутри блока гласных «Г» буквы (е, и, о) также могут меняться местами. Поскольку все три гласные различны, количество их перестановок равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

5. Итоговый расчет. Чтобы найти общее количество различных «слов», нужно перемножить количество способов расстановки блоков и количество способов расстановки букв внутри блока гласных. Это следует из правила произведения в комбинаторике.
Общее число комбинаций = (Число перестановок блоков) $\times$ (Число перестановок внутри блока).
Итоговое количество «слов» составляет $4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$.
Ответ: 144