Номер 32.10, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.10. Сколькими способами можно выбрать председателя, секретаря и одного члена жюри из семнадцати учащихся класса?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики. Поскольку мы выбираем людей на различные, чётко определённые должности (председатель, секретарь, член жюри), порядок выбора важен. Это означает, что мы имеем дело с размещениями без повторений.

Процесс выбора можно разбить на три последовательных шага:

1. Выбор председателя. На эту должность можно выбрать любого из 17 учащихся. Таким образом, у нас есть 17 вариантов.
2. Выбор секретаря. После того как председатель выбран, остаётся 16 кандидатов на должность секретаря. Следовательно, есть 16 вариантов.
3. Выбор члена жюри. После выбора председателя и секретаря остаётся 15 учащихся. Значит, на роль члена жюри есть 15 вариантов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов равно произведению количества способов на каждом шаге:

$N = 17 \times 16 \times 15$

Вычислим это значение:

$17 \times 16 = 272$

$272 \times 15 = 4080$

Также эту задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n = 17$ (общее число учащихся) и $k = 3$ (количество должностей).

$A_{17}^3 = \frac{17!}{(17-3)!} = \frac{17!}{14!} = 17 \times 16 \times 15 = 4080$

32.10. Ответ: 4080