Номер 18.5, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.5. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{512}}$;

б) $\sqrt[4]{270 \sqrt[4]{0,0081}};

в) $\sqrt[4]{-2\frac{2}{3}\sqrt[3]{-216}}$.

а) Для решения выражения $\sqrt[3]{\sqrt[3]{512}}$ можно использовать свойство вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Применив это свойство, получаем:
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{512}} = \sqrt[3 \cdot 3]{512} = \sqrt[9]{512}$.
Теперь необходимо найти число, девятая степень которого равна 512. Это число 2, поскольку $2^9 = 512$.
Следовательно, $\sqrt[9]{512} = 2$.
Также можно решить задачу пошагово:
1. Вычисляем внутренний корень: $\sqrt[3]{512} = 8$, так как $8^3 = 512$.
2. Подставляем результат в выражение: $\sqrt[3]{8}$.
3. Вычисляем оставшийся корень: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{270 \cdot \sqrt[4]{0,0081}}$.
1. Сначала найдем значение внутреннего корня $\sqrt[4]{0,0081}$.
Представим десятичное число 0,0081 в виде обыкновенной дроби: $0,0081 = \frac{81}{10000}$.
Тогда $\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}}$.
Так как $3^4 = 81$ и $10^4 = 10000$, получаем: $\frac{3}{10} = 0,3$.
2. Подставим найденное значение обратно в исходное выражение:
$\sqrt[4]{270 \cdot 0,3}$.
3. Выполним умножение под знаком корня:
$270 \cdot 0,3 = 27 \cdot 3 = 81$.
4. Теперь извлечем корень четвертой степени из полученного числа:
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
Ответ: 3.

в) Найдем значение выражения $\sqrt[4]{-2\frac{2}{3}\sqrt[3]{-216}}$.
1. Вычислим значение внутреннего кубического корня $\sqrt[3]{-216}$.
Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным.
$\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216} = -6$, поскольку $6^3 = 216$.
2. Подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt[4]{-2\frac{2}{3} \cdot (-6)}$.
3. Преобразуем смешанное число $-2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:
$-2\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{8}{3}$.
4. Выполним умножение под корнем. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$(-\frac{8}{3}) \cdot (-6) = \frac{8 \cdot 6}{3} = 8 \cdot 2 = 16$.
5. Выражение принимает вид $\sqrt[4]{16}$.
6. Вычислим значение корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Ответ: 2.