Номер 18.2, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.2. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

a) $\sqrt[8]{7x-2}$;

б) $\sqrt[14]{9x^2-1}$;

В) $\frac{1}{\sqrt[6]{x^2+3x}}$;

Г) $\frac{5}{\sqrt[5]{x^2-6x+8}}$.

Для того чтобы найти, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение определено.

а) В выражении $\sqrt[8]{7x-2}$ присутствует корень четной степени (показатель корня 8 — четное число). Арифметический корень четной степени определен только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).
Составим и решим неравенство:
$7x - 2 \geq 0$
$7x \geq 2$
$x \geq \frac{2}{7}$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, принадлежащих промежутку $[\frac{2}{7}; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{2}{7}; +\infty)$.

б) В выражении $\sqrt[14]{9x^2-1}$ также присутствует корень четной степени (показатель 14). Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$9x^2 - 1 \geq 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$:
$(3x - 1)(3x + 1) \geq 0$
Найдем нули функции $y = (3x-1)(3x+1)$, решив уравнение $(3x-1)(3x+1)=0$. Корни: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{3}$.
Так как это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется на промежутках вне корней.
Таким образом, $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

в) Выражение $\frac{1}{\sqrt[6]{x^2+3x}}$ представляет собой дробь, в знаменателе которой находится корень четной степени (показатель 6).
В этом случае должны выполняться два условия одновременно:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2+3x \geq 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt[6]{x^2+3x} \neq 0$, что эквивалентно $x^2+3x \neq 0$.
Объединив эти условия, получаем строгое неравенство:
$x^2 + 3x > 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 3) > 0$
Нули функции $y = x(x+3)$ — это $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$.

г) Выражение $\frac{5}{\sqrt[5]{x^2-6x+8}}$ представляет собой дробь, в знаменателе которой находится корень нечетной степени (показатель 5 — нечетное число).
Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому единственное ограничение накладывается знаменателем дроби, который не может быть равен нулю.
$\sqrt[5]{x^2 - 6x + 8} \neq 0$
Это условие выполняется, когда подкоренное выражение не равно нулю:
$x^2 - 6x + 8 \neq 0$
Найдем значения $x$, при которых выражение обращается в ноль. Решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме 2 и 4.
$x \in (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$.