Номер 19.1, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.1. Найдите значение выражения:

a) $ \sqrt[7]{3^{14} \cdot 5^7} $;

б) $ \sqrt[8]{2^{32} \cdot 3^{24}} $;

в) $ \sqrt[6]{\frac{3^{18} \cdot 13^6}{5^{12} \cdot 2^{24}}} $;

г) $ \sqrt[5]{\frac{7^5 \cdot 3^{15}}{2^{10} \cdot 5^{15}}} $.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[7]{3^{14} \cdot 5^7}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое позволяет извлекать корень из каждого множителя по отдельности: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, а также свойством извлечения корня из степени: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Выполним преобразования:
$\sqrt[7]{3^{14} \cdot 5^7} = \sqrt[7]{3^{14}} \cdot \sqrt[7]{5^7} = 3^{\frac{14}{7}} \cdot 5^{\frac{7}{7}} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45.

б) Аналогично предыдущему пункту, для выражения $\sqrt[8]{2^{32} \cdot 3^{24}}$ применяем те же свойства корней.

$\sqrt[8]{2^{32} \cdot 3^{24}} = \sqrt[8]{2^{32}} \cdot \sqrt[8]{3^{24}} = 2^{\frac{32}{8}} \cdot 3^{\frac{24}{8}} = 2^4 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432$.

Ответ: 432.

в) Для выражения $\sqrt[6]{\frac{3^{18} \cdot 13^6}{5^{12} \cdot 2^{24}}}$ дополнительно используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[6]{\frac{3^{18} \cdot 13^6}{5^{12} \cdot 2^{24}}} = \frac{\sqrt[6]{3^{18} \cdot 13^6}}{\sqrt[6]{5^{12} \cdot 2^{24}}} = \frac{3^{\frac{18}{6}} \cdot 13^{\frac{6}{6}}}{5^{\frac{12}{6}} \cdot 2^{\frac{24}{6}}} = \frac{3^3 \cdot 13^1}{5^2 \cdot 2^4} = \frac{27 \cdot 13}{25 \cdot 16} = \frac{351}{400}$.

Ответ: $\frac{351}{400}$.

г) Для последнего выражения $\sqrt[5]{\frac{7^5 \cdot 3^{15}}{2^{10} \cdot 5^{15}}}$ действуем по той же схеме, применяя свойства корня из дроби, произведения и степени.

$\sqrt[5]{\frac{7^5 \cdot 3^{15}}{2^{10} \cdot 5^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{7^5 \cdot 3^{15}}}{\sqrt[5]{2^{10} \cdot 5^{15}}} = \frac{7^{\frac{5}{5}} \cdot 3^{\frac{15}{5}}}{2^{\frac{10}{5}} \cdot 5^{\frac{15}{5}}} = \frac{7^1 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 5^3} = \frac{7 \cdot 27}{4 \cdot 125} = \frac{189}{500}$.

Ответ: $\frac{189}{500}$.