Номер 18.4, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.4. Решите уравнение:

а) $27x^3 - 1 = 0;$

б) $5x^6 + 2 = 0;$

в) $64x^3 + 3 = 0;$

г) $81x^4 - 5 = 0;$

д) $(7x + 1)^3 = 27;$

е) $(x - 5)^6 = 64;$

ж) $(2 - 3x)^5 = -1;$

з) $(0,3x + 5)^4 = 0,0016.$

а) $27x^3 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$27x^3 = 1$

Разделим обе части на 27:

$x^3 = \frac{1}{27}$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) $5x^6 + 2 = 0$

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$5x^6 = -2$

Разделим обе части на 5:

$x^6 = -\frac{2}{5}$

Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (6), является неотрицательным ($x^6 \ge 0$), а правая часть уравнения отрицательна ($-\frac{2}{5}$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

в) $64x^3 + 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$64x^3 = -3$

Разделим обе части на 64:

$x^3 = -\frac{3}{64}$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-\frac{3}{64}}$

$x = -\frac{\sqrt[3]{3}}{4}$

Ответ: $-\frac{\sqrt[3]{3}}{4}$

г) $81x^4 - 5 = 0$

Перенесем 5 в правую часть:

$81x^4 = 5$

Разделим обе части на 81:

$x^4 = \frac{5}{81}$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Поскольку степень четная, получаем два корня:

$x = \pm\sqrt[4]{\frac{5}{81}}$

$x = \pm\frac{\sqrt[4]{5}}{3}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt[4]{5}}{3}$

д) $(7x + 1)^3 = 27$

Извлечем кубический корень из обеих частей, учитывая что $27 = 3^3$:

$\sqrt[3]{(7x + 1)^3} = \sqrt[3]{27}$

$7x + 1 = 3$

Перенесем 1 в правую часть:

$7x = 3 - 1$

$7x = 2$

Разделим обе части на 7:

$x = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

е) $(x - 5)^6 = 64$

Извлечем корень шестой степени из обеих частей. Поскольку $64 = 2^6$ и степень четная, получаем два варианта:

$x - 5 = 2$ или $x - 5 = -2$

Решим первое уравнение:

$x - 5 = 2 \implies x_1 = 2 + 5 = 7$

Решим второе уравнение:

$x - 5 = -2 \implies x_2 = -2 + 5 = 3$

Ответ: $3; 7$

ж) $(2 - 3x)^5 = -1$

Извлечем корень пятой степени из обеих частей. Поскольку $-1 = (-1)^5$ и степень нечетная, получаем:

$2 - 3x = -1$

Перенесем 2 в правую часть:

$-3x = -1 - 2$

$-3x = -3$

Разделим обе части на -3:

$x = 1$

Ответ: $1$

з) $(0,3x + 5)^4 = 0,0016$

Представим $0,0016$ в виде степени: $0,0016 = (0,2)^4$. Уравнение примет вид:

$(0,3x + 5)^4 = (0,2)^4$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Поскольку степень четная, получаем два варианта:

$0,3x + 5 = 0,2$ или $0,3x + 5 = -0,2$

Решим первое уравнение:

$0,3x = 0,2 - 5 \implies 0,3x = -4,8 \implies x_1 = \frac{-4,8}{0,3} = -16$

Решим второе уравнение:

$0,3x = -0,2 - 5 \implies 0,3x = -5,2 \implies x_2 = \frac{-5,2}{0,3} = -\frac{52}{3}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $-\frac{52}{3} = -17\frac{1}{3}$

Ответ: $-16; -17\frac{1}{3}$