Номер 17.16, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.16. Решите уравнение $|\sin x| = \cos 5x$.

Исходное уравнение: $|\sin x| = \cos 5x$.

Поскольку левая часть уравнения неотрицательна ($|\sin x| \ge 0$), то и правая часть должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения:

$\cos 5x \ge 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1 случай: $\sin x \ge 0$

В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и уравнение принимает вид:

$\sin x = \cos 5x$

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Решим каждое из них:

1) $x = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n \implies 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$

2) $x = \pi - \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k \implies -4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$

Теперь отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x \ge 0$.

Для серии $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$ условие $\sin x \ge 0$ выполняется при $n \equiv 0, 1, 2 \pmod 6$. Это дает решения:

$x = \frac{\pi}{12} + 2\pi m$, $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi m$, $x = \frac{9\pi}{12} + 2\pi m = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$ (что эквивалентно $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}$) условие $\sin x \ge 0$ выполняется при $m \equiv 1, 2 \pmod 4$. Это дает решения:

$x = \frac{3\pi}{8} + 2\pi m$, $x = \frac{7\pi}{8} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi m$, $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi m$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, $x = \frac{3\pi}{8} + 2\pi m$, $x = \frac{7\pi}{8} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2 случай: $\sin x < 0$

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и уравнение принимает вид:

$-\sin x = \cos 5x \implies \sin(-x) = \cos 5x$

Используем формулу приведения:

$\sin(-x) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$

Решения этого уравнения имеют вид:

$-x = (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$-x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Решим каждое из них:

1) $-x = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n \implies 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

2) $-x = \pi - \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k \implies -6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi k}{3}$

Теперь отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x < 0$.

Для серии $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$ условие $\sin x < 0$ выполняется при $n \equiv 2, 3 \pmod 4$. Это дает решения:

$x = \frac{9\pi}{8} + 2\pi m$, $x = \frac{13\pi}{8} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi k}{3}$ (что эквивалентно $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{3}$) условие $\sin x < 0$ выполняется при $m \equiv 0, 4, 5 \pmod 6$. Это дает решения:

$x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi m$, $x = \frac{15\pi}{12} + 2\pi m = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$, $x = \frac{19\pi}{12} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{9\pi}{8} + 2\pi m$, $x = \frac{13\pi}{8} + 2\pi m$, $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi m$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$, $x = \frac{19\pi}{12} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединение решений и итоговый ответ

Соберем все найденные серии решений и сгруппируем их для получения более компактной записи:

• $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi m$ и $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{\pi}{12} + 2\pi m$
• $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi m$ и $x = \frac{19\pi}{12} + 2\pi m = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{5\pi}{12} + 2\pi m$
• $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$
• $x = \frac{3\pi}{8} + 2\pi m$ и $x = \frac{13\pi}{8} + 2\pi m = -\frac{3\pi}{8} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{3\pi}{8} + 2\pi m$
• $x = \frac{7\pi}{8} + 2\pi m$ и $x = \frac{9\pi}{8} + 2\pi m = -\frac{7\pi}{8} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{7\pi}{8} + 2\pi m$

Все эти решения автоматически удовлетворяют условию $\cos 5x \ge 0$.

Ответ:

$x = \pm \frac{\pi}{12} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{3\pi}{8} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{7\pi}{8} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.