Номер 10.22, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.22. Постройте график функции $y = |\sin 3x|$. Пользуясь графиком, определите:

а) нули функции;

б) промежутки убывания и возрастания функции;

в) наибольшее и наименьшее значения функции, а также значения аргумента, при которых они достигаются;

г) промежутки знакопостоянства функции.

Для построения графика функции $y = |\sin 3x|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
2. Далее выполняем сжатие графика $y = \sin x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза. Это даёт нам график функции $y = \sin 3x$. Период этой функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$. Нули функции находятся в точках, где $3x=\pi k$, то есть $x = \frac{\pi k}{3}$.
3. На последнем шаге мы применяем операцию взятия модуля. Все части графика $y = \sin 3x$, которые лежат ниже оси Ox, симметрично отражаются относительно этой оси вверх. В результате получается график функции $y = |\sin 3x|$. Все значения функции становятся неотрицательными. Период полученной функции вдвое меньше периода функции $y = \sin 3x$ и равен $T = \frac{\pi}{3}$.

Используя полученный график и свойства функции, ответим на поставленные вопросы.

а) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для этого необходимо решить уравнение $|\sin 3x| = 0$, что равносильно уравнению $\sin 3x = 0$. Решениями этого тригонометрического уравнения являются значения $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) промежутки убывания и возрастания функции;
Функция является периодической с периодом $T = \frac{\pi}{3}$. На одном периоде, например на отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$, функция возрастает от 0 до 1 (на промежутке $[0, \frac{\pi}{6}]$) и затем убывает от 1 до 0 (на промежутке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$). Обобщая на всю числовую прямую, получаем:
- Промежутки возрастания: от точек минимума (нулей) $x = \frac{\pi k}{3}$ до точек максимума $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.
- Промежутки убывания: от точек максимума $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ до следующих точек минимума (нулей) $x = \frac{\pi (k+1)}{3}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках вида $[\frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}]$ и убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \frac{\pi(k+1)}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции, а также значения аргумента, при которых они достигаются;
Наименьшее значение функции $y = |\sin 3x|$ равно 0, поскольку модуль числа всегда неотрицателен. Это значение достигается в точках, где $\sin 3x = 0$.
Наибольшее значение функции $y = |\sin 3x|$ равно 1. Это следует из того, что область значений функции $y=\sin t$ есть отрезок $[-1, 1]$, а значит, $| \sin t |$ достигает максимума в 1. Это происходит, когда $\sin 3x = 1$ или $\sin 3x = -1$, что можно объединить в условие $|\sin 3x| = 1$. Это эквивалентно $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$ достигается при $x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ достигается при $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна). Функция $y = |\sin 3x|$ по определению модуля всегда неотрицательна ($y \ge 0$) для всех действительных значений $x$. Она обращается в нуль в точках $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках она строго положительна.
Ответ: функция положительна ($y>0$) на всех промежутках вида $(\frac{\pi k}{3}, \frac{\pi (k+1)}{3})$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отрицательных значений функция не принимает.