Номер 10.21, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.21. Постройте график функции $y = 3\cos \frac{x}{2}$. Пользуясь графиком, определите:

а) нули функции;

б) промежутки убывания и возрастания функции;

в) наибольшее и наименьшее значения функции, а также значения аргумента, при которых они достигаются;

г) промежутки знакопостоянства функции.

Для построения графика функции $y = 3\cos\frac{x}{2}$ выполним преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Исходный график $y = \cos x$ является периодической функцией с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $A=1$. Его область значений $[-1, 1]$.

2. Аргумент $\frac{x}{2}$ (вместо $x$) приводит к растяжению графика вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Период новой функции $y = \cos\frac{x}{2}$ становится $T_{new} = T \cdot 2 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

3. Множитель 3 перед функцией приводит к растяжению графика вдоль оси ординат (оси Oy) в 3 раза. Амплитуда функции $y = 3\cos\frac{x}{2}$ становится $A_{new} = A \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$. Область значений функции, соответственно, становится $[-3, 3]$.

Таким образом, график функции $y = 3\cos\frac{x}{2}$ – это косинусоида с периодом $4\pi$ и амплитудой 3, колеблющаяся в пределах от -3 до 3.

Пользуясь свойствами построенного графика, определим требуемые характеристики.

а) нули функции;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки пересечения с осью Ox. Для их нахождения решим уравнение $3\cos\frac{x}{2} = 0$.

$\cos\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) промежутки убывания и возрастания функции;

На графике видно, что на одном полном периоде, например от $x=0$ до $x=4\pi$, функция сначала убывает (от максимума к минимуму), а затем возрастает (от минимума к максимуму).

Убывание: Функция убывает на отрезках от точек максимума до точек минимума. Максимум достигается при $x=4\pi n$, а минимум при $x=2\pi + 4\pi n$. Следовательно, функция убывает на промежутках вида $[4\pi n, 2\pi + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

Возрастание: Функция возрастает на отрезках от точек минимума до точек максимума. Минимум достигается при $x=2\pi + 4\pi n$, а следующий максимум при $x=4\pi(n+1) = 4\pi + 4\pi n$. Следовательно, функция возрастает на промежутках вида $[2\pi + 4\pi n, 4\pi + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[2\pi + 4\pi n, 4\pi + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $[4\pi n, 2\pi + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции, а также значения аргумента, при которых они достигаются;

Наибольшее значение: Равно амплитуде функции, то есть $y_{max}=3$. Оно достигается в точках, где $\cos\frac{x}{2} = 1$.

$\frac{x}{2} = 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Наименьшее значение: Равно $-3$. Оно достигается в точках, где $\cos\frac{x}{2} = -1$.

$\frac{x}{2} = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: наибольшее значение $y_{max} = 3$ достигается при $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $y_{min} = -3$ достигается при $x = 2\pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

Функция положительна ($y>0$): График находится выше оси Ox. Это происходит, когда $\cos\frac{x}{2} > 0$. Решением этого неравенства является:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$-\pi + 4\pi n < x < \pi + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Функция отрицательна ($y<0$): График находится ниже оси Ox. Это происходит, когда $\cos\frac{x}{2} < 0$. Решением этого неравенства является:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$\pi + 4\pi n < x < 3\pi + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: функция положительна на интервалах $(-\pi + 4\pi n, \pi + 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$; функция отрицательна на интервалах $(\pi + 4\pi n, 3\pi + 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.