Номер 7.25, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.25. Запишите все углы, для которых выполняется равенство $\sin \alpha = -\cos \alpha$. Проиллюстрируйте свое решение с помощью единичной окружности.

Для решения тригонометрического уравнения $sin(α) = -cos(α)$ можно использовать несколько подходов. Один из самых простых — преобразовать его в уравнение для тангенса.

1. Алгебраическое решение

Сначала разделим обе части уравнения на $cos(α)$. Это действие корректно, если $cos(α) \neq 0$. Проверим этот случай. Если $cos(α) = 0$, то из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$ следует, что $sin^2(α) = 1$, то есть $sin(α) = \pm 1$. Подставив эти значения в исходное уравнение, мы получим $\pm 1 = -0$, что неверно. Следовательно, $cos(α)$ не может быть равен нулю, и мы можем безопасно выполнить деление.

$\frac{sin(α)}{cos(α)} = -1$

Используя определение тангенса $tan(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)}$, получаем:

$tan(α) = -1$

Общее решение для этого уравнения находится по формуле:

$α = arctan(-1) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$, общее решение для всех углов $α$ будет:

$α = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Иллюстрация с помощью единичной окружности

На единичной окружности синус угла соответствует ординате (координате y), а косинус — абсциссе (координате x) точки на окружности. Таким образом, равенство $sin(α) = -cos(α)$ можно представить в виде $y = -x$.

Это уравнение прямой, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей. Решениями нашего уравнения будут углы, соответствующие точкам пересечения этой прямой с единичной окружностью $x^2 + y^2 = 1$.

Как видно из иллюстрации, существуют две точки пересечения:

• Точка $P_1(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ во второй четверти, которая соответствует углу $α = \frac{3\pi}{4}$.
• Точка $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ в четвертой четверти, которая соответствует углу $α = -\frac{\pi}{4}$ (или $α = \frac{7\pi}{4}$).

Эти два угла отстоят друг от друга на $\pi$ радиан ($180^\circ$). Поэтому все решения можно описать одной формулой, добавляя к одному из углов целое число полуоборотов ($\pi k$).

Ответ: $α = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.