Номер 7.23, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.23. Найдите синусы и косинусы углов $ \alpha $, если:

a) $ \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z; $

б) $ \alpha = \pi + 2\pi n, n \in Z; $

в) $ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z; $

г) $ \alpha = -\pi + 2\pi n, n \in Z. $

а) Для угла $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2\pi$, слагаемое $2\pi n$ (представляющее собой целое число полных оборотов) не влияет на их значения. Таким образом, задача сводится к нахождению значений для угла $\frac{\pi}{2}$.
$\sin(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(\alpha) = 1$, $\cos(\alpha) = 0$.

б) Для угла $\alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Аналогично предыдущему пункту, из-за периодичности функций ищем значения для угла $\pi$.
$\sin(\alpha) = \sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$
$\cos(\alpha) = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos(\pi) = -1$
Ответ: $\sin(\alpha) = 0$, $\cos(\alpha) = -1$.

в) Для угла $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Используя периодичность, находим значения для угла $-\frac{\pi}{2}$.
$\sin(\alpha) = \sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(-\frac{\pi}{2})$
$\cos(\alpha) = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(-\frac{\pi}{2})$
Далее используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а косинус — четная ($\cos(-x) = \cos(x)$).
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
$\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(\alpha) = -1$, $\cos(\alpha) = 0$.

г) Для угла $\alpha = -\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Находим значения для угла $-\pi$, используя свойство периодичности.
$\sin(\alpha) = \sin(-\pi + 2\pi n) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$
$\cos(\alpha) = \cos(-\pi + 2\pi n) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$
Ответ: $\sin(\alpha) = 0$, $\cos(\alpha) = -1$.