Номер 4.1, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.1. Вычислите целые и дробные части чисел:

а) 1,2; -1,2;

б) 0,9; -0,9;

в) $\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{3}$;

г) 10,01; -10,01;

д) $\sqrt{2}$; $-\sqrt{2}$.

Целая часть действительного числа $x$, обозначаемая $[x]$ (или $\lfloor x \rfloor$, функция «пол»), — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[3.8] = 3$, а $[-3.8] = -4$.
Дробная часть числа $x$, обозначаемая $\{x\}$, определяется как разность $\{x\} = x - [x]$. Дробная часть всегда неотрицательна и строго меньше 1, то есть $0 \le \{x\} < 1$.

а) 1,2; -1,2;
Для числа $1,2$: целая часть $[1,2] = 1$. Дробная часть $\{1,2\} = 1,2 - [1,2] = 1,2 - 1 = 0,2$.
Для числа $-1,2$: целая часть $[-1,2] = -2$, так как $-2$ является наибольшим целым числом, не превосходящим $-1,2$. Дробная часть $\{-1,2\} = -1,2 - [-1,2] = -1,2 - (-2) = 0,8$.
Ответ: для 1,2 целая часть 1, дробная часть 0,2; для -1,2 целая часть -2, дробная часть 0,8.

б) 0,9; -0,9;
Для числа $0,9$: целая часть $[0,9] = 0$. Дробная часть $\{0,9\} = 0,9 - [0,9] = 0,9 - 0 = 0,9$.
Для числа $-0,9$: целая часть $[-0,9] = -1$, так как $-1 \le -0,9 < 0$. Дробная часть $\{-0,9\} = -0,9 - [-0,9] = -0,9 - (-1) = 0,1$.
Ответ: для 0,9 целая часть 0, дробная часть 0,9; для -0,9 целая часть -1, дробная часть 0,1.

в) $\frac{1}{3}; -\frac{1}{3};$
Для числа $\frac{1}{3}$: так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, целая часть $[\frac{1}{3}] = 0$. Дробная часть $\{\frac{1}{3}\} = \frac{1}{3} - [\frac{1}{3}] = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
Для числа $-\frac{1}{3}$: так как $-1 < -\frac{1}{3} < 0$, целая часть $[-\frac{1}{3}] = -1$. Дробная часть $\{-\frac{1}{3}\} = -\frac{1}{3} - [-\frac{1}{3}] = -\frac{1}{3} - (-1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: для $\frac{1}{3}$ целая часть 0, дробная часть $\frac{1}{3}$; для $-\frac{1}{3}$ целая часть -1, дробная часть $\frac{2}{3}$.

г) 10,01; -10,01;
Для числа $10,01$: целая часть $[10,01] = 10$. Дробная часть $\{10,01\} = 10,01 - [10,01] = 10,01 - 10 = 0,01$.
Для числа $-10,01$: целая часть $[-10,01] = -11$, так как $-11 \le -10,01 < -10$. Дробная часть $\{-10,01\} = -10,01 - [-10,01] = -10,01 - (-11) = 0,99$.
Ответ: для 10,01 целая часть 10, дробная часть 0,01; для -10,01 целая часть -11, дробная часть 0,99.

д) $\sqrt{2}; -\sqrt{2}$;
Для числа $\sqrt{2}$: так как $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{2} < 2$. Следовательно, целая часть $[\sqrt{2}] = 1$. Дробная часть $\{\sqrt{2}\} = \sqrt{2} - [\sqrt{2}] = \sqrt{2} - 1$.
Для числа $-\sqrt{2}$: так как $-2 < -\sqrt{2} < -1$ (поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$), целая часть $[-\sqrt{2}] = -2$. Дробная часть $\{-\sqrt{2}\} = -\sqrt{2} - [-\sqrt{2}] = -\sqrt{2} - (-2) = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: для $\sqrt{2}$ целая часть 1, дробная часть $\sqrt{2} - 1$; для $-\sqrt{2}$ целая часть -2, дробная часть $2 - \sqrt{2}$.