Номер 29.9, страница 131 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.9. Для квадратичной функции $f(x) = x^2 + 6x$ найдите,

если это возможно, значения аргумента, при которых:

а) $f(x) = 0$;

б) $f(x) = -9$;

в) $f(x) = 7$;

г) $f(x) = -13$.

Для квадратичной функции $f(x) = x^2 + 6x$ нам нужно найти значения аргумента $x$, для которых функция принимает заданные значения. Это сводится к решению нескольких квадратных уравнений.

Требуется найти $x$, при которых $f(x) = 0$. Составим уравнение:
$x^2 + 6x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 6) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два решения:
$x_1 = 0$
или
$x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$
Ответ: 0; -6.

Требуется найти $x$, при которых $f(x) = -9$. Составим уравнение:
$x^2 + 6x = -9$
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 6x + 9 = 0$
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 3)^2 = 0$
Из этого следует, что основание степени равно нулю:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: -3.

Требуется найти $x$, при которых $f(x) = 7$. Составим уравнение:
$x^2 + 6x = 7$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 + 6x - 7 = 0$
Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения коэффициенты равны $a=1, b=6, c=-7$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: -7; 1.

Требуется найти $x$, при которых $f(x) = -13$. Составим уравнение:
$x^2 + 6x = -13$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 + 6x + 13 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения. Коэффициенты: $a=1, b=6, c=13$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения аргумента $x$, при котором значение функции $f(x)$ было бы равно -13.
(Наименьшее значение данной функции достигается в вершине параболы и равно -9, поэтому функция не может принимать значения меньше -9).
Ответ: таких значений аргумента не существует.