Номер 29.4, страница 131 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.4. Для каждой из квадратичных функций определите, в какой форме она записана:

а) $f(x) = 3x^2 - 7x + 1;$

б) $f(x) = (x+3)(x-7);$

в) $f(x) = 3(x-1)^2 - 5;$

г) $f(x) = -5x^2 + 2x - 7;$

д) $f(x) = -9(x-3)(x+1);$

е) $f(x) = -2(x+3)^2 + 1.$

Квадратичная функция может быть записана в трех основных формах, каждая из которых имеет свои преимущества для анализа функции:

• Стандартная (или общая) форма: $f(x) = ax^2 + bx + c$. Эта форма удобна для нахождения пересечения с осью y (точка $(0, c)$) и использования формулы для корней квадратного уравнения.
• Вершинная форма: $f(x) = a(x - h)^2 + k$. Эта форма напрямую показывает координаты вершины параболы $(h, k)$ и ось симметрии $x=h$.
• Разложенная на множители (или форма с нулями): $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$. Эта форма напрямую показывает нули функции (корни уравнения $f(x) = 0$), то есть точки пересечения с осью x: $(r_1, 0)$ и $(r_2, 0)$.

Определим, в какой из этих форм записана каждая из предложенных функций.

а) Функция $f(x) = 3x^2 - 7x + 1$ представлена в виде многочлена второй степени. Это соответствует определению стандартной формы $f(x) = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=3$, $b=-7$ и $c=1$.
Ответ: стандартная форма.

б) Функция $f(x) = (x + 3)(x - 7)$ представлена в виде произведения двух линейных множителей. Это соответствует разложенной на множители форме $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$. Здесь коэффициент $a=1$, а нули функции (корни) равны $r_1 = -3$ и $r_2 = 7$.
Ответ: разложенная на множители форма.

в) Функция $f(x) = 3(x - 1)^2 - 5$ имеет вид, в котором явно выделен квадрат двучлена. Это соответствует вершинной форме $f(x) = a(x - h)^2 + k$. Здесь коэффициент $a=3$, а координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(1, -5)$.
Ответ: вершинная форма.

г) Функция $f(x) = -5x^2 + 2x - 7$, аналогично пункту а), является многочленом второй степени. Это стандартная форма $f(x) = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=-5$, $b=2$ и $c=-7$.
Ответ: стандартная форма.

д) Функция $f(x) = -9(x - 3)(x + 1)$ представлена в виде произведения числового коэффициента и двух линейных множителей. Это разложенная на множители форма $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ с коэффициентом $a=-9$ и нулями функции $r_1 = 3$ и $r_2 = -1$.
Ответ: разложенная на множители форма.

е) Функция $f(x) = -2(x + 3)^2 + 1$, аналогично пункту в), имеет выделенный полный квадрат. Это вершинная форма $f(x) = a(x - h)^2 + k$. Здесь коэффициент $a=-2$, а координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-3, 1)$, так как $x+3 = x - (-3)$.
Ответ: вершинная форма.