Номер 29.2, страница 130 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.2. Даны три функции: $f(x) = x^2 - 2x - 8$; $g(x) = (x - 1)^2 - 9$; $h(x) = (x - 4)(x + 2).$ Верно ли, что f, g, h — три формы записи одной и той же функции?

Чтобы определить, являются ли данные три функции различными формами записи одной и той же функции, мы можем преобразовать выражения для $g(x)$ и $h(x)$ к стандартному виду квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$, в котором уже представлена функция $f(x)$, и сравнить результаты.

Исходная функция в стандартном виде:

$f(x) = x^2 - 2x - 8$

Проверим функцию g(x)

Функция $g(x)$ представлена в вершинной форме: $g(x) = (x - 1)^2 - 9$.

Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

Подставим полученное выражение обратно в $g(x)$ и упростим:

$g(x) = (x^2 - 2x + 1) - 9 = x^2 - 2x - 8$

Как видим, $g(x) = f(x)$.

Проверим функцию h(x)

Функция $h(x)$ представлена в виде произведения множителей: $h(x) = (x - 4)(x + 2)$.

Раскроем скобки, перемножив их:

$h(x) = x \cdot x + x \cdot 2 - 4 \cdot x - 4 \cdot 2 = x^2 + 2x - 4x - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$h(x) = x^2 - 2x - 8$

Как видим, $h(x) = f(x)$.

Поскольку после алгебраических преобразований мы получили, что все три выражения тождественно равны ($f(x) = g(x) = h(x)$), то $f, g, h$ — это действительно три формы записи одной и той же функции.

Ответ: Да, верно.