Номер 29.14, страница 132 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.14. График функции $f(x) = a(x - m)^2 + n$ изображен на рисунке 13. Пользуясь графиком, найдите $a$, $m$ и $n$. Запишите функцию $y = f(x)$ в виде многочлена.

Поскольку изображение с графиком (рисунок 13) не было предоставлено, для решения задачи необходимо сделать предположение о виде этого графика. Предположим, что на рисунке изображена парабола, вершина которой находится в точке с координатами $(2, -3)$, и которая также проходит через точку $(0, 1)$.

Найдите a, m и n

Функция задана в вершинной форме $f(x) = a(x - m)^2 + n$. В этой записи $(m, n)$ — это координаты вершины параболы.

Исходя из нашего предположения, вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Отсюда мы можем сразу определить значения параметров $m$ и $n$:

$m = 2$

$n = -3$

Теперь уравнение функции принимает вид: $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$.

Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся второй известной точкой, через которую проходит график, — $(0, 1)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$ и $f(x)=1$) в уравнение функции:

$1 = a(0 - 2)^2 - 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$1 = a(-2)^2 - 3$

$1 = 4a - 3$

$4a = 1 + 3$

$4a = 4$

$a = 1$

Таким образом, мы нашли значения всех трех параметров.

Ответ: $a = 1, m = 2, n = -3$.

Запишите функцию y = f(x) в виде многочлена

После нахождения всех параметров мы можем записать уравнение функции в вершинной форме:

$y = 1 \cdot (x - 2)^2 - 3$

Упростим запись:

$y = (x - 2)^2 - 3$

Чтобы представить эту функцию в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Для раскрытия скобок используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 3$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 3$

$y = x^2 - 4x + 4 - 3$

$y = x^2 - 4x + 1$

Это и есть искомая функция, записанная в виде многочлена.

Ответ: $y = x^2 - 4x + 1$.