Номер 6, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения

$(\sin^2 x - \cos^2 x)^2 - 4\cos^2 x \sin^2 x = -0,5\sqrt{2}$

а) 45°;

б) 78,75°;

в) 33,75°;

г) 56,25°;

д) 11,25°.

Для решения данного уравнения выполним следующие преобразования, используя тригонометрические формулы двойного угла.

Исходное уравнение:

$$(\sin^2 x - \cos^2 x)^2 - 4\cos^2 x \sin^2 x = -0,5\sqrt{2}$$

1. Упрощение левой части уравнения.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:

$$\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$$

Теперь возведем это выражение в квадрат:

$$(-\cos(2x))^2 = \cos^2(2x)$$

Далее преобразуем второе слагаемое. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$$4\cos^2 x \sin^2 x = (2\sin x \cos x)^2 = (\sin(2x))^2 = \sin^2(2x)$$

2. Подстановка упрощенных выражений в уравнение.

Подставив полученные выражения в исходное уравнение, получаем:

$$\cos^2(2x) - \sin^2(2x) = -0,5\sqrt{2}$$

Левая часть этого уравнения снова является формулой косинуса двойного угла, но уже для аргумента $2x$. Применим формулу $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, где $\alpha = 2x$:

$$\cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$$

Таким образом, уравнение значительно упрощается и принимает вид:

$$\cos(4x) = -0,5\sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

3. Нахождение общего решения.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$$4x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Значение арккосинуса равно $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$.

$$4x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$$x = \pm \frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

4. Поиск наименьшего положительного корня.

Нам нужно найти наименьшее значение $x > 0$. Рассмотрим две серии решений, подставляя различные целые значения $k$:

• Для серии $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}$:
  • при $k=0$, $x = \frac{3\pi}{16}$. Это положительный корень.
• Для серии $x = -\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}$:
  • при $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{16}$ (отрицательный).
  • при $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{-3\pi + 8\pi}{16} = \frac{5\pi}{16}$. Это тоже положительный корень.

Сравниваем полученные положительные корни: $\frac{3\pi}{16}$ и $\frac{5\pi}{16}$.

Так как $3 < 5$, наименьший положительный корень равен $x = \frac{3\pi}{16}$.

5. Перевод корня в градусы.

Для перевода из радиан в градусы используем соотношение $\pi \text{ рад} = 180^\circ$:

$$x = \frac{3 \cdot 180^\circ}{16} = \frac{540^\circ}{16} = \frac{135^\circ}{4} = 33,75^\circ$$

Найденный корень соответствует варианту ответа в). Неправильная дробь, соответствующая ответу, это $\frac{135}{4}$. Целая часть этой дроби равна 33.

Ответ: в) 33,75°