Номер 11, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения $\sqrt{2} \sin 2x = \sqrt{3}(\sin x - \cos x) - 2\sqrt{2}$.

Дано тригонометрическое уравнение: $$ \sqrt{2} \sin(2x) = \sqrt{3}(\sin(x) - \cos(x)) - 2\sqrt{2} $$

Для упрощения уравнения введем замену переменной. Пусть $ t = \sin(x) - \cos(x) $.

Чтобы связать эту замену с $ \sin(2x) $, возведем выражение для $ t $ в квадрат: $$ t^2 = (\sin(x) - \cos(x))^2 = \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) $$ Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, получаем: $$ t^2 = 1 - \sin(2x) $$ Отсюда выражаем $ \sin(2x) $: $$ \sin(2x) = 1 - t^2 $$

Подставим выражения для $ t $ и $ \sin(2x) $ в исходное уравнение: $$ \sqrt{2}(1 - t^2) = \sqrt{3}t - 2\sqrt{2} $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $ t $. Раскроем скобки и приведем его к стандартному квадратному виду $ at^2 + bt + c = 0 $: $$ \sqrt{2} - \sqrt{2}t^2 = \sqrt{3}t - 2\sqrt{2} $$ $$ \sqrt{2}t^2 + \sqrt{3}t - \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 0 $$ $$ \sqrt{2}t^2 + \sqrt{3}t - 3\sqrt{2} = 0 $$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы для корней через дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (\sqrt{3})^2 - 4(\sqrt{2})(-3\sqrt{2}) = 3 + 12 \cdot 2 = 3 + 24 = 27 $$ $$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $$ Это дает нам два возможных значения для $ t $: $$ t_1 = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$ $$ t_2 = \frac{-\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{6} $$

Далее, проверим допустимость найденных значений $ t $. Выражение $ t = \sin(x) - \cos(x) $ можно преобразовать с помощью метода вспомогательного угла: $$ t = \sin(x) - \cos(x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)\right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $$ Поскольку область значений функции синус $ [-1, 1] $, то область значений для $ t $ равна $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Проверим наши корни:

• $ t_1 = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.225 $. Это значение входит в промежуток $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414] $. Следовательно, этот корень подходит.
• $ t_2 = -\sqrt{6} \approx -2.449 $. Это значение не входит в промежуток $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, продолжаем решение с единственным допустимым значением $ t = \frac{\sqrt{6}}{2} $: $$ \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} $$ $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Данное тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

1. $ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
2. $ x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{11\pi}{12} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Требуется найти наибольший отрицательный корень в градусах. Для этого переведем решения в градусы, используя $ \pi = 180^\circ $:

1. $ x = \frac{7 \cdot 180^\circ}{12} + 360^\circ n = 105^\circ + 360^\circ n $. Для получения наибольшего отрицательного корня из этой серии, возьмем $ n = -1 $: $ x = 105^\circ - 360^\circ = -255^\circ $.
2. $ x = \frac{11 \cdot 180^\circ}{12} + 360^\circ k = 165^\circ + 360^\circ k $. Для получения наибольшего отрицательного корня из этой серии, возьмем $ k = -1 $: $ x = 165^\circ - 360^\circ = -195^\circ $.

Сравниваем полученные отрицательные корни $ -255^\circ $ и $ -195^\circ $. Наибольшим из них (то есть, ближайшим к нулю) является $ -195^\circ $.

Наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах): Ответ: -195