Номер 5, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Найдите количество корней уравнения

$3\sin^2(5\pi + x) - \cos(1,5\pi + x) \cdot \cos(x - 7\pi) = 2$

на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

а) 9;

б) 5;

в) 7;

г) 6;

д) 8.

Для решения данного уравнения и нахождения количества корней на заданном промежутке, выполним следующие шаги:

1. Упрощение тригонометрических выражений.

Исходное уравнение: $3\sin^2(5\pi + x) - \cos(1.5\pi + x) \cdot \cos(x - 7\pi) = 2$.

Воспользуемся формулами приведения и свойствами тригонометрических функций:

• $\sin(5\pi + x) = \sin(4\pi + \pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)$.
  Следовательно, $\sin^2(5\pi + x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.
• $\cos(1.5\pi + x) = \cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin(x)$.
• $\cos(x - 7\pi) = \cos(-(7\pi - x)) = \cos(7\pi - x) = \cos(6\pi + \pi - x) = \cos(\pi - x) = -\cos(x)$.

2. Подстановка упрощенных выражений в уравнение.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$3(\sin^2(x)) - (\sin(x)) \cdot (-\cos(x)) = 2$

$3\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) = 2$

3. Решение полученного уравнения.

Используем основное тригонометрическое тождество, представив число 2 как $2 \cdot 1 = 2(\sin^2(x) + \cos^2(x))$:

$3\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) = 2(\sin^2(x) + \cos^2(x))$

$3\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) = 2\sin^2(x) + 2\cos^2(x)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(3\sin^2(x) - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = 0$

$\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos(x)=0$ решением. Если $\cos(x)=0$, то $\sin^2(x)=1$. Подставив в уравнение, получим $1 + 0 - 0 = 1 \neq 0$. Значит, $\cos(x) \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2(x)$:

$\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} - \frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$

$\tan^2(x) + \tan(x) - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan(x)$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим его (например, по теореме Виета):

$t_1 = 1$, $t_2 = -2$

Возвращаемся к замене:

$\tan(x) = 1$ или $\tan(x) = -2$

4. Нахождение корней на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Рассмотрим две серии корней.

Серия 1: $\tan(x) = 1$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}$

$-\frac{3}{2} \le \frac{1}{4} + n \le \frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2} - \frac{1}{4} \le n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{4}$

$-\frac{7}{4} \le n \le \frac{5}{4}$

$-1.75 \le n \le 1.25$

Целые значения $n$ на этом отрезке: -1, 0, 1.
Корни:

• $n=-1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
• $n=0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$
• $n=1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$

Все три корня принадлежат заданному промежутку. Всего 3 корня.

Серия 2: $\tan(x) = -2$

Общее решение: $x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

$-\frac{3\pi}{2} \le -\arctan(2) + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$

$-\frac{3}{2} \le -\frac{\arctan(2)}{\pi} + k \le \frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2} + \frac{\arctan(2)}{\pi} \le k \le \frac{3}{2} + \frac{\arctan(2)}{\pi}$

Известно, что $\frac{\pi}{3} < \arctan(2) < \frac{\pi}{2}$, значит $0.33 \approx \frac{1}{3} < \frac{\arctan(2)}{\pi} < \frac{1}{2} = 0.5$.

$-1.5 + 0.33 < k < 1.5 + 0.5$

$-1.17 < k < 2$

Целые значения $k$ на этом отрезке: -1, 0, 1.
Корни:

• $k=-1 \Rightarrow x = -\arctan(2) - \pi$ (входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{2} < -\arctan(2) - \pi < -\frac{4\pi}{3}$)
• $k=0 \Rightarrow x = -\arctan(2)$ (входит в промежуток)
• $k=1 \Rightarrow x = -\arctan(2) + \pi$ (входит в промежуток, так как $\frac{\pi}{2} < -\arctan(2) + \pi < \frac{2\pi}{3}$)

Всего 3 корня.

5. Общее количество корней.

Суммируем количество корней из обеих серий: $3 + 3 = 6$.

Таким образом, на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ уравнение имеет 6 корней.

Ответ: г) 6