Номер 2, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения

$4\sin^2 x + 4\sqrt{3} \sin x + 3 = 0$.

a) -120°;

б) -150°;

в) -135°;

г) -60°;

д) -90°.

Для решения уравнения $4\sin^2 x + 4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0$ заметим, что его левая часть является полным квадратом.

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае можно положить $a = 2\sin x$ и $b = \sqrt{3}$. Проверим:

• $a^2 = (2\sin x)^2 = 4\sin^2 x$
• $2ab = 2 \cdot (2\sin x) \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\sin x$
• $b^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(2\sin x + \sqrt{3})^2 = 0$

Это равносильно уравнению:

$2\sin x + \sqrt{3} = 0$

$2\sin x = -\sqrt{3}$

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения можно представить в виде двух серий корней. Запишем их сразу в градусах:

1. $x = -60^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n$ — целое число.
2. $x = -120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n$ — целое число.

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого рассмотрим отрицательные корни из каждой серии, подставляя целые значения $n$.

Для первой серии $x = -60^\circ + 360^\circ \cdot n$:

• При $n=0$, получаем $x = -60^\circ$.
• При $n=-1$, получаем $x = -60^\circ - 360^\circ = -420^\circ$.

Для второй серии $x = -120^\circ + 360^\circ \cdot n$:

• При $n=0$, получаем $x = -120^\circ$.
• При $n=-1$, получаем $x = -120^\circ - 360^\circ = -480^\circ$.

Мы получили следующие отрицательные корни: $-60^\circ, -120^\circ, -420^\circ, -480^\circ, \dots$

Наибольший отрицательный корень — это тот, который ближе всего к нулю. Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшим является $-60^\circ$.

Ответ: г) -60