Номер 15, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения $ \sin x + \cos x = \sqrt{2 + \sin^4 4x} $.

Рассмотрим данное уравнение:

$$ \sin x + \cos x = \sqrt{2 + \sin^4 4x} $$

Для решения этого уравнения оценим области значений его левой и правой частей.

Анализ левой части (ЛЧ)

Преобразуем выражение $ \sin x + \cos x $ с помощью метода введения вспомогательного угла:

$$ \text{ЛЧ} = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x \right) $$

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$$ \text{ЛЧ} = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1 $, то область значений левой части уравнения:

$$ E(\text{ЛЧ}) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $$

Анализ правой части (ПЧ)

Рассмотрим правую часть:

$$ \text{ПЧ} = \sqrt{2 + \sin^4 4x} $$

Область значений $ \sin 4x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. При возведении в четвёртую степень значения становятся неотрицательными, поэтому $ 0 \le \sin^4 4x \le 1 $.

Следовательно, для подкоренного выражения имеем: $ 2 + 0 \le 2 + \sin^4 4x \le 2 + 1 $, то есть $ 2 \le 2 + \sin^4 4x \le 3 $.

Таким образом, область значений правой части уравнения:

$$ E(\text{ПЧ}) = [\sqrt{2}, \sqrt{3}] $$

Решение уравнения

Равенство левой и правой частей возможно только в том случае, если их значения совпадают. Единственное значение, принадлежащее обеим областям $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $ и $ [\sqrt{2}, \sqrt{3}] $, это $ \sqrt{2} $.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} \sin x + \cos x = \sqrt{2} \\ \sqrt{2 + \sin^4 4x} = \sqrt{2} \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы, используя ранее полученное преобразование:

$$ \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 $$

Отсюда получаем серию решений:

$$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Решим второе уравнение системы:

$$ \sqrt{2 + \sin^4 4x} = \sqrt{2} \implies 2 + \sin^4 4x = 2 \implies \sin^4 4x = 0 \implies \sin 4x = 0 $$

Теперь необходимо убедиться, что найденная серия корней $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $ удовлетворяет второму условию ($ \sin 4x = 0 $). Подставим $x$ в это уравнение:

$$ \sin(4x) = \sin\left(4\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)\right) = \sin(\pi + 8\pi k) $$

Так как $k$ — целое число, $8\pi k$ — это целое число полных оборотов ($ 4k \cdot 2\pi $). Поэтому $ \sin(\pi + 8\pi k) = \sin(\pi) = 0 $. Условие выполняется для всех целых $k$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Нахождение наибольшего отрицательного корня

Мы ищем наибольший корень $ x $, который меньше нуля. Найдем соответствующее значение $ k $ из неравенства:

$$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < 0 $$

$$ 2\pi k < -\frac{\pi}{4} $$

$$ k < -\frac{1}{8} $$

Наибольшее целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $ k = -1 $.

Подставим $ k = -1 $ в формулу для корней:

$$ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} $$

Наконец, переведем найденный корень из радиан в градусы, используя соотношение $ \pi \text{ рад} = 180^\circ $:

$$ x = -\frac{7 \cdot 180^\circ}{4} = -7 \cdot 45^\circ = -315^\circ $$

Ответ: -315