Номер 14, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения

$\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \text{ctg}x = -\sqrt{3}$.

Для решения данного тригонометрического уравнения выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

   Уравнение содержит функции тангенса и котангенса, поэтому необходимо учесть их ограничения:

   • Функция $\text{tg}(x + \frac{\pi}{6})$ определена, если $\cos(x + \frac{\pi}{6}) \neq 0$. Это значит $x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{3} + \pi k$.
   • Функция $\text{ctg}(x)$ определена, если $\sin(x) \neq 0$. Это значит $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

   Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{3} + \pi k$ и $x \neq \pi n$ для любых целых $k, n$.

2. Преобразование уравнения.

   Используем формулу тангенса суммы: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}(\alpha) + \text{tg}(\beta)}{1 - \text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}$.

   $\text{tg}(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\text{tg}(x) + \text{tg}(\frac{\pi}{6})}{1 - \text{tg}(x)\text{tg}(\frac{\pi}{6})}$.

   Так как $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, подставляем это значение в формулу:

   $\text{tg}(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\text{tg}(x) + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \text{tg}(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}\text{tg}(x) + 1}{\sqrt{3} - \text{tg}(x)}$.

   Также заменим $\text{ctg}(x)$ на $\frac{1}{\text{tg}(x)}$. Исходное уравнение принимает вид:

   $\frac{\sqrt{3}\text{tg}(x) + 1}{\sqrt{3} - \text{tg}(x)} + \frac{1}{\text{tg}(x)} = -\sqrt{3}$.

3. Введение замены и решение алгебраического уравнения.

   Пусть $t = \text{tg}(x)$. Тогда уравнение переписывается как:

   $\frac{\sqrt{3}t + 1}{\sqrt{3} - t} + \frac{1}{t} = -\sqrt{3}$

   Приведем левую часть к общему знаменателю $t(\sqrt{3} - t)$:

   $\frac{t(\sqrt{3}t + 1) + 1(\sqrt{3} - t)}{t(\sqrt{3} - t)} = -\sqrt{3}$

   $\frac{\sqrt{3}t^2 + t + \sqrt{3} - t}{t(\sqrt{3} - t)} = -\sqrt{3}$

   $\frac{\sqrt{3}t^2 + \sqrt{3}}{t(\sqrt{3} - t)} = -\sqrt{3}$

   Умножим обе части на знаменатель $t(\sqrt{3} - t)$, при условии что $t \neq 0$ и $t \neq \sqrt{3}$:

   $\sqrt{3}t^2 + \sqrt{3} = -\sqrt{3} \cdot t(\sqrt{3} - t)$

   $\sqrt{3}t^2 + \sqrt{3} = -3t + \sqrt{3}t^2$

   Вычтем $\sqrt{3}t^2$ из обеих частей уравнения:

   $\sqrt{3} = -3t$

   $t = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

4. Нахождение общего решения для $x$.

   Возвращаемся к исходной переменной:

   $\text{tg}(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

   Общее решение этого уравнения имеет вид:

   $x = \text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

   Эти решения удовлетворяют ОДЗ, как было показано при их проверке.

5. Нахождение наименьшего положительного корня.

   Нам нужен наименьший корень $x > 0$. Решим неравенство:

   $-\frac{\pi}{6} + \pi k > 0$

   $\pi k > \frac{\pi}{6}$

   $k > \frac{1}{6}$

   Наименьшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k = 1$.

   Подставляем $k=1$ в формулу для $x$:

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \frac{-\pi + 6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

6. Перевод результата в градусы.

   По условию, ответ требуется дать в градусах. Переведем найденный корень из радиан в градусы, используя соотношение $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$.

   $x = \frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

14. Ответ: 150.