Номер 4, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.4. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных. Из одной урны вынимают шар. Какова вероятность вынуть белый шар?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу полной вероятности. Пусть событие $A$ — это извлечение белого шара.

Сначала определим гипотезы:

• $H_1$ — выбор первой урны.
• $H_2$ — выбор второй урны.

Поскольку урны выбираются случайным образом (в условии не указано иное), их выбор равновероятен. Вероятность выбора каждой урны составляет:

$P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$

Далее найдем условные вероятности извлечения белого шара из каждой урны.

В первой урне: 5 белых и 6 черных шаров. Всего шаров: $5 + 6 = 11$.
Вероятность вынуть белый шар из первой урны, $P(A|H_1)$, равна:

$P(A|H_1) = \frac{5}{11}$

Во второй урне: 4 белых и 8 черных шаров. Всего шаров: $4 + 8 = 12$.
Вероятность вынуть белый шар из второй урны, $P(A|H_2)$, равна:

$P(A|H_2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Теперь применим формулу полной вероятности для нахождения общей вероятности извлечения белого шара $P(A)$:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставляем известные значения в формулу:

$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{11} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{22} + \frac{1}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю (66) и складываем их:

$P(A) = \frac{5 \cdot 3}{22 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{15}{66} + \frac{11}{66} = \frac{26}{66}$

Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(A) = \frac{13}{33}$

Какова вероятность вынуть белый шар? Ответ: $\frac{13}{33}$