Номер 6, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.6. Подброшены три игральных кубика. Найдите вероятность того, что на каждой из выпавших граней:

а) появится число 5;

б) появится одинаковое число;

в) появятся хотя бы два разных числа;

г) все числа будут разные.

При броске одного игрального кубика возможно 6 исходов (числа от 1 до 6). Так как бросают три кубика, и результаты бросков независимы, общее число всех возможных элементарных исходов находится как число размещений с повторениями и равно:

$N = 6^3 = 216$

Это общее число всех равновозможных исходов эксперимента.

а) появится число 5;

Это событие означает, что на первом, втором и третьем кубиках выпадет число 5. Существует только один такой исход: (5, 5, 5).

Число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность $P$ данного события вычисляется по классической формуле вероятности:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{216}$

Ответ: $\frac{1}{216}$

б) появится одинаковое число;

Это событие означает, что на всех трех кубиках выпадет одно и то же число. Благоприятными являются следующие исходы:

(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6).

Всего таких исходов 6. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 6$.

Вероятность этого события:

$P = \frac{m}{N} = \frac{6}{216}$

Сокращая дробь, получаем:

$P = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

в) появятся хотя бы два разных числа;

Событие "появятся хотя бы два разных числа" является противоположным событию "все числа будут одинаковые", вероятность которого мы нашли в пункте б).

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Если $P(B)$ - вероятность того, что все числа одинаковые, то искомая вероятность $P(C)$ равна:

$P(C) = 1 - P(B)$

Подставляем значение, найденное в пункте б):

$P(C) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{36}{36} - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

Ответ: $\frac{35}{36}$

г) все числа будут разные.

Это событие означает, что на всех трех кубиках выпадут различные числа. Найдем число благоприятных исходов, используя правило умножения в комбинаторике:

• На первом кубике может выпасть любое из 6 чисел.
• На втором кубике может выпасть любое из 5 оставшихся чисел (чтобы не совпасть с первым).
• На третьем кубике может выпасть любое из 4 оставшихся чисел (чтобы не совпасть с первыми двумя).

Число благоприятных исходов $m$ равно:

$m = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Вероятность этого события:

$P = \frac{m}{N} = \frac{120}{216}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 120 и 216 равен 24:

$P = \frac{120 \div 24}{216 \div 24} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$