Номер 8, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.8. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найдите вероятность того, что студент знает три предложенных экзаменатором вопроса.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

$P = \frac{m}{n}$

где:

• $n$ – общее число возможных исходов (способов выбрать 3 вопроса из 25).
• $m$ – число благоприятных исходов (способов выбрать 3 вопроса из тех 20, которые студент знает).

Поскольку порядок выбора вопросов не имеет значения, для подсчета исходов мы будем использовать формулу для числа сочетаний: $C_k^i = \binom{k}{i} = \frac{k!}{i!(k-i)!}$.

1. Найдем общее число возможных исходов $n$. Это число способов выбрать 3 вопроса из 25 имеющихся:

$n = C_{25}^3 = \binom{25}{3} = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{23 \cdot 24 \cdot 25}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим $24$ и $3 \cdot 2 = 6$:

$n = 23 \cdot 4 \cdot 25 = 23 \cdot 100 = 2300$

Таким образом, существует 2300 уникальных комбинаций из трех экзаменационных вопросов.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$. Это число способов выбрать 3 вопроса из 20, которые студент выучил:

$m = C_{20}^3 = \binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{18 \cdot 19 \cdot 20}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим $18$ и $3 \cdot 2 = 6$:

$m = 3 \cdot 19 \cdot 20 = 57 \cdot 20 = 1140$

Следовательно, существует 1140 способов выбрать 3 вопроса, которые студент знает.

3. Теперь вычислим искомую вероятность, подставив найденные значения в формулу:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1140}{2300}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель сначала на 10, а затем на 2:

$P = \frac{114}{230} = \frac{57}{115}$

Данная дробь является несократимой, так как числитель $57 = 3 \cdot 19$, а знаменатель $115 = 5 \cdot 23$, и у них нет общих делителей.

Вероятность того, что студент знает три предложенных экзаменатором вопроса: Ответ: $\frac{57}{115}$.