Номер 3, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.3. Подбросили две монеты. Если событие $A$ — «герб выпал на первой монете», событие $B$ — «герб выпал на второй монете», то событие $\bar{A} \cdot \bar{B}$ означает:

а) выпал ровно один герб;

б) выпала хотя бы одна цифра;

в) выпало две цифры;

г) выпал хотя бы один герб.

Выберите правильный ответ.

Для решения задачи разберем используемые в ней понятия из теории вероятностей.

В условии определены следующие события:

• Событие $A$ — «герб выпал на первой монете».
• Событие $B$ — «герб выпал на второй монете».

Необходимо определить, что означает событие $ \overline{A} \cdot \overline{B} $.

Разберем это выражение по частям:

1. Противоположное событие. Черта над названием события (например, $ \overline{A} $) обозначает событие, противоположное исходному. Оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит исходное событие.
   • Событие $ \overline{A} $ является противоположным событию $A$. Если $A$ — это «герб выпал на первой монете», то $ \overline{A} $ — это «герб не выпал на первой монете». Для монеты это означает, что «на первой монете выпала цифра».
   • Аналогично, $ \overline{B} $ — это событие «на второй монете выпала цифра».
2. Произведение (пересечение) событий. Знак умножения $ \cdot $ между событиями (например, $ \overline{A} \cdot \overline{B} $) обозначает их пересечение, то есть одновременное наступление. Это соответствует логической операции «И».

Следовательно, событие $ \overline{A} \cdot \overline{B} $ означает, что произошло событие $ \overline{A} $ и событие $ \overline{B} $ одновременно. На языке эксперимента это означает: «на первой монете выпала цифра» И «на второй монете выпала цифра». Другими словами, «выпало две цифры».

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа.

а) выпал ровно один герб;
Это событие означает, что на одной монете выпал герб, а на другой — цифра. То есть, (герб, цифра) или (цифра, герб). В терминах алгебры событий это записывается как сумма произведений: $(A \cdot \overline{B}) + (\overline{A} \cdot B)$. Это не соответствует искомому событию $\overline{A} \cdot \overline{B}$.
Ответ: неверно.

б) выпала хотя бы одна цифра;
Это событие происходит, если результатом не является «два герба». Оно включает в себя исходы: (герб, цифра), (цифра, герб) и (цифра, цифра). Это событие является противоположным событию «выпало два герба» (которое записывается как $A \cdot B$). То есть, это событие $\overline{A \cdot B}$, которое по законам де Моргана равно $\overline{A} + \overline{B}$ (сумма, а не произведение событий).
Ответ: неверно.

в) выпало две цифры;
Это событие означает, что и на первой, и на второй монете выпали цифры. Как было показано выше, это в точности соответствует событию $\overline{A} \cdot \overline{B}$.
Ответ: верно.

г) выпал хотя бы один герб.
Это событие происходит при наличии как минимум одного герба. Возможные исходы: (герб, цифра), (цифра, герб) и (герб, герб). Это событие является объединением (суммой) событий $A$ и $B$, то есть $A + B$. Оно означает, что герб выпал на первой монете ИЛИ на второй монете.
Ответ: неверно.