Номер 12, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.12. Производится два выстрела по мишени. Множество всех исходов образуют события:

а) ни одного попадания, два попадания;

б) нет промаха, есть хотя бы один промах;

в) есть хотя бы одно попадание, два промаха;

г) ни одного попадания, хотя бы одно попадание.

Выберите правильный ответ.

Для определения правильного ответа необходимо проанализировать, какой из предложенных наборов событий полностью описывает все возможные исходы двух выстрелов по мишени. Полный набор событий (или полная группа событий) должен удовлетворять двум условиям:

1. Взаимная исключительность: События не могут произойти одновременно.
2. Исчерпываемость: Одно из событий обязательно должно произойти, то есть их совокупность охватывает все возможные исходы.

Обозначим возможные исходы для двух выстрелов, где 'П' — попадание, а 'М' — промах. Множество всех элементарных исходов (пространство элементарных событий) будет следующим:

• $ПП$ — два попадания
• $ПМ$ — первое попадание, второй промах
• $МП$ — первый промах, второе попадание
• $ММ$ — два промаха

Теперь рассмотрим каждый вариант:

а) ни одного попадания, два попадания;
Событие "ни одного попадания" соответствует исходу $ММ$.
Событие "два попадания" соответствует исходу $ПП$.
Эти два события не охватывают все возможные исходы, так как не учитывают случаи с одним попаданием ($ПМ$ и $МП$). Следовательно, этот набор событий не является исчерпывающим.
Ответ: Неверно.

б) нет промаха, есть хотя бы один промах;
Событие "нет промаха" эквивалентно "двум попаданиям" и соответствует исходу $ПП$.
Событие "есть хотя бы один промах" означает один или два промаха и соответствует совокупности исходов {$ПМ, МП, ММ$}.
Эти два события взаимно исключают друг друга (не могут произойти одновременно) и вместе охватывают все возможные исходы: {$ПП$} $\cup$ {$ПМ, МП, ММ$} = {$ПП, ПМ, МП, ММ$}. Таким образом, они образуют полную группу событий.
Ответ: Верно.

в) есть хотя бы одно попадание, два промаха;
Событие "есть хотя бы одно попадание" означает одно или два попадания и соответствует совокупности исходов {$ПП, ПМ, МП$}.
Событие "два промаха" соответствует исходу $ММ$.
Эти два события также являются взаимно исключающими и исчерпывающими: {$ПП, ПМ, МП$} $\cup$ {$ММ$} = {$ПП, ПМ, МП, ММ$}. Они образуют полную группу событий.
Ответ: Верно.

г) ни одного попадания, хотя бы одно попадание.
Событие "ни одного попадания" соответствует исходу $ММ$.
Событие "хотя бы одно попадание" соответствует совокупности исходов {$ПП, ПМ, МП$}.
Этот набор событий логически идентичен набору из пункта в). Они также образуют полную группу событий.
Ответ: Верно.

Выбор правильного ответа:

Анализ показывает, что варианты б), в) и г) математически корректно описывают полную группу событий. Однако в задачах с выбором одного правильного ответа следует обратить внимание на формулировки. Варианты в) и г) описывают одно и то же разделение исходов на две группы: "нет попаданий" ($ММ$) и "есть хотя бы одно попадание" ({$ПП, ПМ, МП$}). Поскольку два варианта ответа являются идентичными по смыслу, это, как правило, указывает на то, что ни один из них не является единственно верным ответом в тесте. Вариант а) является неполным. Методом исключения наиболее вероятным правильным ответом является вариант б), который представляет собой иное, но также корректное разделение всех исходов.

Таким образом, правильный ответ — б).