Номер 49, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.49. Решите уравнение $1 - \cos(\pi \lg x) = 2\sin(0.5\pi \lg x)$.

Данное уравнение: $$1 - \cos(\pi \lg x) = 2\sin(0.5\pi \lg x)$$

Прежде всего определим Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:$$x > 0$$

Для решения уравнения воспользуемся тригонометрической формулой $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$. Заметим, что аргумент косинуса в левой части в два раза больше аргумента синуса в правой части:$$\pi \lg x = 2 \cdot (0.5\pi \lg x)$$Применим указанную формулу, положив $\alpha = 0.5\pi \lg x$. Левая часть уравнения преобразуется к виду:$$1 - \cos(\pi \lg x) = 2\sin^2(0.5\pi \lg x)$$

Теперь исходное уравнение можно переписать следующим образом:$$2\sin^2(0.5\pi \lg x) = 2\sin(0.5\pi \lg x)$$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:$$2\sin^2(0.5\pi \lg x) - 2\sin(0.5\pi \lg x) = 0$$$$2\sin(0.5\pi \lg x) \left( \sin(0.5\pi \lg x) - 1 \right) = 0$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений, которые мы рассмотрим как два отдельных случая.

Случай 1

Первый множитель равен нулю:$$\sin(0.5\pi \lg x) = 0$$Это частный случай решения тригонометрического уравнения, корни которого находятся по формуле:$$0.5\pi \lg x = \pi n, \quad \text{где } n \in Z$$Разделим обе части уравнения на $\pi$:$$0.5 \lg x = n$$Умножим на 2:$$\lg x = 2n$$По определению десятичного логарифма, получаем первую серию корней:$$x = 10^{2n}$$Все корни этой серии положительны и, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 10^{2n}, \quad n \in Z$.

Случай 2

Второй множитель равен нулю:$$\sin(0.5\pi \lg x) - 1 = 0$$$$\sin(0.5\pi \lg x) = 1$$Это также частный случай, корни которого находятся по формуле:$$0.5\pi \lg x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad \text{где } k \in Z$$Разделим обе части уравнения на $\pi$:$$0.5 \lg x = \frac{1}{2} + 2k$$Умножим на 2:$$\lg x = 1 + 4k$$По определению десятичного логарифма, получаем вторую серию корней:$$x = 10^{1+4k}$$Все корни этой серии также положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 10^{1+4k}, \quad k \in Z$.