Номер 53, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.53. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

$\log_3 (x^2 + 4x + 13) + \log_5 (4x^2 + 16x + 17) = 2$

Исходное уравнение:$$ \log_3 (x^2 + 4x + 13) + \log_5 (4x^2 + 16x + 17) = 2 $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными.

• Для первого логарифма: $x^2 + 4x + 13 > 0$.
  Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$.
  Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, парабола ветвями вверх и не пересекает ось Ох, значит, выражение $x^2 + 4x + 13$ положительно при любых действительных значениях $x$.
• Для второго логарифма: $4x^2 + 16x + 17 > 0$.
  Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 17 = 256 - 272 = -16$.
  Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=4 > 0$, выражение $4x^2 + 16x + 17$ также положительно при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in R$.

2. Преобразуем выражения в аргументах логарифмов, выделив полные квадраты:

• $x^2 + 4x + 13 = (x^2 + 4x + 4) + 9 = (x + 2)^2 + 9$
• $4x^2 + 16x + 17 = 4(x^2 + 4x) + 17 = 4(x^2 + 4x + 4) - 16 + 17 = 4(x + 2)^2 + 1$

3. Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

4. Используем метод оценки. Оценим каждое слагаемое в левой части уравнения.

• Так как $(x + 2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x + 2)^2 + 9 \ge 9$.
  Поскольку логарифмическая функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, получаем: $$ \log_3 ((x + 2)^2 + 9) \ge \log_3(9) = 2 $$
• Аналогично, $4(x + 2)^2 \ge 0$, следовательно $4(x + 2)^2 + 1 \ge 1$.
  Поскольку логарифмическая функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, получаем: $$ \log_5 (4(x + 2)^2 + 1) \ge \log_5(1) = 0 $$

5. Сложим полученные неравенства:

Левая часть уравнения всегда больше или равна 2. Равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых принимают свои минимальные значения одновременно. Это возможно при условии:

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = -2$.

Сумма корней (в данном случае корень единственный) равна -2.

Ответ: -2.